摘要

　　為檢驗(yàn)因子是否有顯著的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，首先需要正確計(jì)算因子載荷。本文討論了收益率時(shí)序回歸 β 和 firm characteristics 作為 β 時(shí)的差異，并給出了一些建議。

　　1、引言

　　Spoiler alert!

　　這篇文章關(guān)注的是 empirical asset pricing test 中的 test。它既不介紹異象，也不講述因子，而是著眼于檢驗(yàn)。本文的內(nèi)容雖然重要，但行文非常 technical 且結(jié)論又看似 boring;以“真香”論來(lái)看，搞清楚文中的解讀不如記住最后的結(jié)論。

　　在檢驗(yàn)因子是否有顯著的 risk premium 時(shí)，常用的工具是 Fama-MacBeth Regression;而該方法首先需要明確股票在每個(gè)因子上的因子載荷(factor loading，即我們常說(shuō)的 β)。計(jì)算因子載荷有兩種方法：

　　1. 使用股票和因子收益率在時(shí)序上回歸得到的回歸系數(shù)作為因子載荷(例如，使用個(gè)股收益率和 HML 因子收益率的時(shí)序回歸系數(shù)作為個(gè)股在 HML 上的因子載荷);

　　2. 像 Barra 那樣直接使用 firm characteristics 作為因子載荷(例如，直接用個(gè)股的 P/B 取值經(jīng)過(guò)必要的標(biāo)準(zhǔn)化后作為因子載荷)。

　　比較這兩種方法的差異就是本文的目標(biāo)，這也是本文取名 which beta 的原因。由于篇幅較長(zhǎng)，為避免各位小伙伴在閱讀過(guò)程中 get lost，下面先給出文章的思維導(dǎo)圖。

　　

　　下面讓我們從 Fama-MacBeth Regression 說(shuō)起。

　　2、Fama-MacBeth Regression

　　Fama-MacBeth Regression 是學(xué)界和業(yè)界檢驗(yàn)因子 risk premium 的主流方法之一(Fama and MacBeth 1973，見(jiàn)《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》)。它的檢驗(yàn)過(guò)程分為兩步：

　　第一步是時(shí)序回歸：把待檢驗(yàn)的因子收益率放在回歸方程的 RHS，把用來(lái)檢驗(yàn)這些因子的資產(chǎn)收益率逐一放在回歸方程的 LHS，使用 multivariate regression 計(jì)算每個(gè)資產(chǎn)在這些因子上的因子載荷 β;

　　第二步是截面回歸：使用第一步得到的 β 作為解釋變量放在 RHS，使用資產(chǎn)的收益率放在 LHS，截面回歸求出因子的 risk premium λ;每一期得到每個(gè)因子的溢價(jià)后，最后檢驗(yàn)每個(gè)因子溢價(jià)的均值是否顯著。

　　上述過(guò)程的第一步是為了第二步服務(wù)，而第二步具備兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(1)在截面上使用多因子回歸可以考察每個(gè)因子對(duì)解釋資產(chǎn)預(yù)期收益率差異的增量貢獻(xiàn);(2)“先單期截面回歸、再?gòu)臅r(shí)序上取平均”可以排除殘差收益率的截面相關(guān)性帶來(lái)的影響。

　　然而，上述兩步走的過(guò)程存在一個(gè)不可避免的問(wèn)題，即第一步通過(guò)時(shí)序回歸得到的因子載荷僅僅是真實(shí)但未知的 β 的估計(jì)，因而存在誤差;將這個(gè) estimate 直接作為解釋變量用在第二步就引入了 errors-in-variables 問(wèn)題(EIV)。

　　Fama and MacBeth (1973) 自然意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題。為此，在這篇以檢驗(yàn) CAPM 為初衷的文章中，他們并沒(méi)有使用個(gè)股的收益率，而是將個(gè)股按照歷史 β 的大小構(gòu)成了不同的投資組合，然后使用這些投資組合作為資產(chǎn)，放在回歸中的 LHS 檢驗(yàn) CAPM。Black, Jensen, and Scholes (1972) 以及 Fama and MacBeth (1973) 指出：當(dāng)使用投資組合時(shí)，個(gè)股 β 的估計(jì)誤差會(huì)相互抵消，因此對(duì)投資組合的 β 估計(jì)會(huì)更準(zhǔn)確，從而在一定程度上降低 EIV 的影響。

　　自此以后，在進(jìn)行 Fama-MacBeth Regression 檢驗(yàn)因子時(shí)，使用投資組合而非個(gè)股放在 LHS 就成為了學(xué)術(shù)界的標(biāo)配。但有大佬對(duì)此頗有微詞，這其中就包括 Fama 的弟子 Richard Roll。

　　Roll 和他的 co-authors 在 Jegadeesh et al. (2019) 這篇最新發(fā)表于 Journal of Financial Economics 的文章指出將個(gè)股按照某種屬性分組實(shí)際上是一種降維處理，投資組合會(huì)丟掉很多個(gè)股截面上的特征。如果待檢驗(yàn)的因子和這些 LHS 組合的分組屬性正交，用它們作為 LHS 進(jìn)行 Fama-MacBeth Regression 是無(wú)法發(fā)現(xiàn)這些因子的 risk premium 的。因此，Jegadeesh et al. (2019) 建議使用個(gè)股收益率放在 LHS。

　　除此之外，學(xué)術(shù)界對(duì)于投資組合的過(guò)度使用還有另一個(gè)不好的 side effect。Fama and French (1993) 三因子的橫空出世，不僅讓人們從此接受了 SMB 和 HML 兩個(gè)因子，更讓使用 Size 和 B/M 進(jìn)行 double sort 得到的 5 × 5 一共 25 個(gè)投資組合成為了評(píng)價(jià)不同因子模型時(shí)的標(biāo)配。很多模型以能夠在截面上很好的解釋這 25 個(gè)資產(chǎn)的預(yù)期收益率為依據(jù)，說(shuō)明提出的新因子是有效的。對(duì)此，另外兩位大佬 Stefan Nagel 和 Jay Shanken 認(rèn)為這是極大的誤解。

　　Nagel 和 Shanken 在 Lewellen, Nagel, and Shanken (2010) 一文中指出，使用 Size 和 B/M double sort 的這 25 個(gè)組合有非常強(qiáng)的 factor structure。任何一個(gè)待檢驗(yàn)的因子，如果它們和 HML 或 SMB 的相關(guān)性大于它和這 25 個(gè)組合被 HML 和 SMB 解釋后的殘差的相關(guān)性的話(huà)，這個(gè)新因子就能在這些投資組合的截面上獲得很高的 R²，換句話(huà)說(shuō)，這些組合的 α 會(huì)很接近零。因此，哪怕一個(gè)因子能夠很好的解釋這 25 個(gè)投資組合的截面預(yù)期收益率差異，它也未必是有效的。

　　以上兩個(gè)問(wèn)題均說(shuō)明在檢驗(yàn)因子以及因子模型時(shí)，僅使用有限個(gè)投資組合作為 test assets 不再合適。Lewellen, Nagel, and Shanken (2010) 提出的解決方法之一正是使用更多的投資組合。比如，在 Fama and French (2019) 這篇最新的研究中，他們二位就使用不同的公司指標(biāo)兩兩 double sort 構(gòu)建了 200+ 個(gè)投資組合，檢驗(yàn)了時(shí)序和截面因子模型的效果。

　　如今，距離 Fama and MacBeth (1973) 的提出已經(jīng)過(guò)去了快 50 年。無(wú)論是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展還是學(xué)術(shù)界因子挖掘的日趨嚴(yán)重(factor zoo)，都促使我們摒棄投資組合、轉(zhuǎn)而使用個(gè)股收益率放在回歸方程的 LHS。

　　當(dāng)使用個(gè)股收益率放在 LHS 時(shí)，必須盡量排除 EIV 問(wèn)題、獲得盡可能準(zhǔn)確的因子載荷的估計(jì)。為此，Jegadeesh et al. (2019) 提出在 Fama-MacBeth Regression 的第一步時(shí)序回歸中引入Instrumental Variables(IV)，它將是下一節(jié)的內(nèi)容。

　　對(duì) EIV 問(wèn)題，業(yè)界有著不同的做法。我們熟悉的 Barra 的純因子模型本質(zhì)上正是 Fama-MacBeth Regression。但是它沒(méi)有使用第一步時(shí)序回歸計(jì)算因子載荷，而是使用了 firm characteristics 作為因子載荷，然后進(jìn)行截面回歸。由于不需要估計(jì) β，Barra 在回歸方程的 LHS 使用了個(gè)股收益率。當(dāng)然，Barra 多因子模型的目的是為了計(jì)算個(gè)股的協(xié)方差矩陣，從這個(gè)意義上說(shuō)，LHS 使用投資組合也沒(méi)什么道理。

　　當(dāng)把個(gè)股收益率放在 LHS 時(shí)，比較學(xué)術(shù)界和業(yè)界的在計(jì)算因子載荷時(shí)的不同做法正是本文背后的動(dòng)機(jī)。

　　3、Instrumental Variables

　　在 Fama-MacBeth Regression 中，第二步截面回歸的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

　　

　　由于采用了個(gè)股收益率放在 LHS，因此上式中 r_t 是個(gè)股收益率向量;B 是第一步時(shí)序回歸得到的因子載荷估計(jì)矩陣，它是一個(gè) N × K 階矩陣(N 支個(gè)股;K 個(gè)因子);λ 是帶求解的因子 risk premium 向量;ξ_t 是殘差向量。

　　為減少 EIV 問(wèn)題的影響，Jegadeesh et al. (2019) 在上述 OLS 回歸中引入了 Instrumental Variables，因此得到 λ 的 IV estimate 為：

　　

　　上式中，B_IV 和 B_EV 分別為 instrumental 和 explanatory variables：B_EV 是對(duì) β 的 estimate;B_IV 是 B_EV 的工具變量。Jegadeesh et al. (2019) 使用互不重疊的歷史數(shù)據(jù)分別進(jìn)行時(shí)序回歸求解 B_IV 和 B_EV，并指出正因如此，它們?cè)诮孛嫔鲜遣幌嚓P(guān)的，可以減少 EIV 問(wèn)題。

　　具體來(lái)說(shuō)，在每個(gè)月末，為了計(jì)算最新的 B_IV 和 B_EV，Jegadeesh et al. (2019) 使用過(guò)去三年個(gè)股的日頻收益率和多因子模型的日頻收益率進(jìn)行時(shí)序 multivariate regression：

　　1. 如果當(dāng)前月是偶數(shù)月(比如二月、四月、六月等)，則使用過(guò)去三年窗口內(nèi)所有的偶數(shù)月之中個(gè)股和多因子的收益率進(jìn)行回歸，得到的回歸系數(shù)就是 B_EV;使用這三年窗口內(nèi)所有奇數(shù)月之中個(gè)股和多因子的收益率進(jìn)行回歸，得到的回歸系數(shù)作為 B_IV。

　　2. 如果當(dāng)前月是奇數(shù)月(比如一月、三月、五月等)，則使用過(guò)去三年窗口內(nèi)所有的奇數(shù)月之中個(gè)股和多因子的收益率進(jìn)行回歸，得到的回歸系數(shù)就是 B_EV;使用這三年窗口內(nèi)所有偶數(shù)月之中個(gè)股和多因子的收益率進(jìn)行回歸，得到的回歸系數(shù)作為 B_IV。

　　由于 EIV 問(wèn)題，F(xiàn)ama-MacBeth Regression 中第二步截面上的 OLS 計(jì)算得到的 risk premium 往往是 biased，而多個(gè)因子一起的多元截面回歸使得我們無(wú)法確定每個(gè)因子溢價(jià)上 bias 的方向。Jegadeesh et al. (2019) 指出，上述 IV estimate 可以獲得 risk premium 的無(wú)偏估計(jì)。

　　以 CAPM 單因子為例，下圖給出了 Jegadeesh et al. (2019) 的分析結(jié)果。當(dāng)使用傳統(tǒng)的 OLS 時(shí)，對(duì) market risk premium 的估計(jì)的 bias 隨著計(jì)算 β 的時(shí)序窗口增加而減少，但即便是使用了長(zhǎng)達(dá) 10 年的數(shù)據(jù)(2500 個(gè)交易日)，bias 仍然高達(dá) -7% 左右;而采用 IV estimate，對(duì) market risk premium 的估計(jì)是 unbiased。

　　

　　顯然，即便是對(duì)于美股，使用十年滾動(dòng)窗口來(lái)估計(jì) β 都是相當(dāng)奢侈的(況且它還無(wú)法消除 bias)，更不要提大 A 股了。因此，IV estimate 在計(jì)算 risk premium 時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯。

　　下面以中證 500 成分股為例(將它們放在回歸方程的 LHS)，檢驗(yàn) Fama and French (2015) 的五因子模型中的因子是否有 risk premium。實(shí)證期為 2010 年 1 月至 2019 年 4 月。在每月末，使用過(guò)去兩年的日頻收益率序列估計(jì) B_EV 和 B_EV。作為對(duì)比，同時(shí)使用不引入 IV 的方法，即使用兩年滾動(dòng)窗口的全部數(shù)據(jù)估計(jì) β 并將它用在 Fama-MacBeth Regression 的第二步。下表給出了這五個(gè)因子的檢驗(yàn)結(jié)果(其中 Test 1 為未引入 IV 的方法;Test 2 為使用 IV estimate 的方法)。

　　

　　結(jié)果顯示，當(dāng)使用個(gè)股作為資產(chǎn)放在 LHS 時(shí)，由于 EIV 的問(wèn)題，F(xiàn)ama-MacBeth Regression 給出的結(jié)論是全部五個(gè)因子均沒(méi)有顯著的 risk premium —— 即五因子不能有效的解釋個(gè)股截面預(yù)期收益的差異。當(dāng)采用 IV estimate 時(shí)，SMB 因子變得顯著(其他四個(gè)因子仍然不顯著)。這個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)果表明消除 EIV 問(wèn)題，即使用更準(zhǔn)確的 β estimate，對(duì)于評(píng)判一個(gè)因子是否有效至關(guān)重要。

　　從上面的結(jié)果可以得到本文 which beta 之問(wèn)的第一個(gè)觀(guān)點(diǎn)：在 β 估計(jì)時(shí)引入 IV 消除 EIV 的影響比直接使用 β 做 OLS 截面回歸能夠獲得更準(zhǔn)確的 risk premium estimate。

　　如果討論就此結(jié)束實(shí)在意猶未盡。事實(shí)上，Jegadeesh et al. (2019) 的實(shí)證分析也未止步于此;他們?cè)?β 的基礎(chǔ)上加入了 firm characteristics。使用時(shí)序回歸系數(shù)和 firm characteristics 同時(shí)作為 β 也是這兩種方法的直接 PK。

　　4、Firm Characteristics

　　Jegadeesh et al. (2019) 在美股上使用他們提出的 IV estimate 檢驗(yàn) Fama and French (1993) 三因子模型并發(fā)現(xiàn) SMB 和 HML 確實(shí)有顯著的 risk premium。不過(guò)，他們同時(shí)指出，以上顯著的結(jié)果可能源自被忽視的變量偏差，即在截面回歸時(shí)沒(méi)有控制 Size 和 B/M 這些用來(lái)構(gòu)建 SMB 和 HML 的 firm characteristics。為此，他們將 Size 和 B/M 加入到 Fama-MacBeth Regression 的第二步，和 HML 以及 SMB 的 β estimate 一起進(jìn)行了截面回歸。

　　令人吃驚的是，Jegadeesh et al. (2019) 的實(shí)證結(jié)果(下圖)顯示，當(dāng) Size 和 B/M(或 logB/M) 被加入后，這兩個(gè) firm characteristics 可以獲得顯著的 risk premium，而 SMB 和 HML 的 risk premium 不再顯著。

　　

　　我們同樣來(lái)看看 A 股的實(shí)證結(jié)果?？紤] firm characteristics 之后，把上一節(jié) Test 1 和 Test 2 中分別加入對(duì)應(yīng) SMB、HML、RMW、CMA 四因子的公司指標(biāo)得到 Test 3 和 Test 4。在這兩個(gè) tests 中，相應(yīng)的公司指標(biāo)記為 Size(使用的對(duì)數(shù)流通市值)、B/P、OP/TA 以及 INV。

　　

　　引入 firm characteristics 之后，F(xiàn)ama and French (2015) 五因子在中證 500 上均不顯著;而 B/P 和 OP/TA 這兩個(gè)公司指標(biāo)可以獲得顯著的 risk premium。Firm characteristics“戰(zhàn)勝”時(shí)序回歸 β 的結(jié)果和 Jegadeesh et al. (2019) 在美股上的實(shí)證結(jié)果十分相似(他們針對(duì)美股也檢驗(yàn)了五因子模型和 Hou, Xue, and Zhang 2015 的 q-factor 模型，均有類(lèi)似的發(fā)現(xiàn))。

　　當(dāng)使用投資組合作為檢驗(yàn)因子的資產(chǎn)時(shí)，這些學(xué)術(shù)界的因子的確可以獲得顯著的 risk premium。然而，當(dāng)使用個(gè)股收益率、并考慮了 firm characteristics 后，它們均不再顯著。這背后的原因是什么呢?Jegadeesh et al. (2019) 給出了它們的嘗試，無(wú)奈最后的結(jié)論是“remains a puzzle”;我們也要給出自己的思考。

　　接下來(lái)從以下兩個(gè)角度思考這個(gè)問(wèn)題：

　　1. 日頻收益率高噪聲使得因子載荷 β 的取值在截面上非常不穩(wěn)定。

　　2. Firm characteristics 比時(shí)序回歸系數(shù) β 是更好的因子載荷 proxy。

　　5、時(shí)序回歸 vs 公司指標(biāo)

　　前文中 Test 1 和 Test 2 的結(jié)果說(shuō)明，當(dāng) LHS 使用個(gè)股收益率時(shí)，五因子幾乎都無(wú)法獲得顯著 risk premium。我們知道，一個(gè)隨機(jī)因子是無(wú)法獲得 risk premium 的。從這個(gè)觀(guān)點(diǎn)出發(fā)反推，可以猜測(cè)時(shí)序回歸得到的 β 在截面上非常不穩(wěn)定，使得這些因子的行為就像隨機(jī)因子一樣。這可能是由于日頻收益率數(shù)據(jù)的高噪音和多元回歸中因子之間的相互影響所致。

　　另一方面，使用 firm characteristics 比使用時(shí)序回歸 β 能獲得更顯著的 risk premium，這說(shuō)明 firm characteristics 對(duì)應(yīng)的 pure factor portfolio 能獲得更高的收益率。這意味著與時(shí)序回歸的 β 相比，當(dāng)期 firm characteristics 和下一期個(gè)股收益率之間的 IC 以及 ICIR 更高。下列實(shí)證結(jié)果也證實(shí)了這個(gè)猜想。

　　下圖是 SMB 因子的時(shí)序回歸 β 和 Size 這兩個(gè)解釋變量和個(gè)股未來(lái)收益率之間的 rank IC 時(shí)序圖(藍(lán)色為時(shí)序回歸 β;黃色為 Size)，圖中同時(shí)給出了這兩個(gè)變量的 IC 均值以及 ICIR(Size 的 IC 均值及 ICIR 為負(fù)說(shuō)明小市值更好)。

　　

　　結(jié)果顯示，時(shí)序回歸得到的 SMB 的 β 和個(gè)股收益率的 IC 均值(絕對(duì)值)沒(méi)有 Size 高;說(shuō)明 Size 比 SMB β 對(duì)于未來(lái)收益率更具有預(yù)測(cè)性。此外 Size 的 ICIR(絕對(duì)值)更高也說(shuō)明它作為因子載荷，要比 SMB 的 β 更加穩(wěn)定。

　　在其他三個(gè)因子 HML、RMW 以及 CMA 上也能觀(guān)察到類(lèi)似的結(jié)果，這里不再贅述，結(jié)果匯總于以下三張圖。

　　

　　

　　

　　以上實(shí)證結(jié)果說(shuō)明，作為因子載荷，firm characteristics 確實(shí)比它們對(duì)應(yīng)的因子 β 有更好的預(yù)測(cè)性。但這背后的原因是什么呢?近日，Richard Roll 和他的 co-authors 在 Review of Financial Studies 上發(fā)表了一篇題為 A protocol for factor identification 的文章(Pukthuanthong, Roll, and Subrahmanyam 2019)，闡述了一個(gè)系統(tǒng)識(shí)別因子的規(guī)程。這篇文章本身非常值得一讀，不過(guò)我提它是因?yàn)橐粋€(gè) side note。

　　這篇文章較早寫(xiě)于 2015 年并獲得了 The Q Group 的 Jack Treynor 獎(jiǎng);Richard Roll 也于 2016 年應(yīng)邀做了該文的報(bào)告。在報(bào)告中，他指出因子本身的運(yùn)動(dòng)是難以預(yù)測(cè)的，因此像 firm characteristics 這些可以提前知道的指標(biāo)不能成為因子。它們能夠獲得風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)可能有兩個(gè)原因：(1)它們是未知因子載荷的 good proxy;(2)它們代表了套利機(jī)會(huì)。

　　

　　我們知道如果以 B/P 來(lái)構(gòu)建一個(gè)多空組合，該組合的波動(dòng)其實(shí)是很大的，它并不代表某種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，因此上述第二個(gè)原因難以說(shuō)通。所以，更有可能的是這些 firm characteristics 有效的代表了因子載荷。

　　需要強(qiáng)調(diào)的是，“firm characteristics 是更好的因子載荷”這個(gè)觀(guān)點(diǎn)仍然是一種猜測(cè)。Jegadeesh et al. (2019) 就這一點(diǎn)構(gòu)建了一個(gè)假設(shè)，但很遺憾實(shí)證數(shù)據(jù)并沒(méi)有支持這個(gè)觀(guān)點(diǎn)。

　　我們?cè)诖私o出 which beta 之問(wèn)的第二個(gè)觀(guān)點(diǎn)：同時(shí)考慮 firm characteristics 和時(shí)序回歸系數(shù)時(shí)，后者無(wú)法獲得顯著 risk premium;從實(shí)證結(jié)果來(lái)看，firm characteristics 確實(shí)是更好使的因子載荷，但背后的原因依然未知。

　　6、結(jié)語(yǔ)

　　如今，無(wú)論是檢驗(yàn)單個(gè)因子還是因子模型，僅使用有限個(gè)投資組合作為 LHS 都難以令人滿(mǎn)意。正因如此，學(xué)者們提出使用個(gè)股的收益率作為 LHS。但由于 EIV 的問(wèn)題，如何計(jì)算個(gè)股的因子載荷 β 至關(guān)重要。

　　本文就 which beta 問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。

　　文章從 Jegadeesh et al. (2019) 提出的 IV estimate 出發(fā)，考慮了時(shí)序回歸估計(jì) β，并引入 firm characteristics 作為控制變量，構(gòu)建了一共 4 個(gè) tests 檢驗(yàn)了 Fama and French (2015) 五因子模型在中證 500 上是否能夠獲得顯著 risk premium。作為回顧，這 4 個(gè) tests 的設(shè)定總結(jié)于下表。

　　

　　綜合本文的實(shí)證結(jié)果，關(guān)于 which beta 的探討得到以下兩個(gè)觀(guān)點(diǎn)：

　　1. 在 β 估計(jì)時(shí)引入 IV 消除 EIV 的影響比直接使用 β 做 OLS 截面回歸能夠獲得更準(zhǔn)確的 risk premium estimate;

　　2. 同時(shí)考慮 firm characteristics 和時(shí)序回歸系數(shù)時(shí)，后者無(wú)法獲得顯著 risk premium;從實(shí)證結(jié)果來(lái)看，firm characteristics 確實(shí)是更好使的因子載荷，但背后的原因依然未知。

　　正確計(jì)算因子載荷至關(guān)重要。例如，在業(yè)績(jī)歸因時(shí)，如果不知道具體的持倉(cāng)明細(xì)，就只能把待歸因的收益率作為被解釋變量、把因子收益率作為解釋變量進(jìn)行時(shí)序回歸，以回歸系數(shù) β 作為評(píng)價(jià)的依據(jù)(AQR 用自家的多個(gè)風(fēng)格因子對(duì)美股上多位傳奇大佬的收益進(jìn)行過(guò)業(yè)績(jī)歸因)。又如，在構(gòu)建宏觀(guān)因子模型(macroeconomic factor models)時(shí)，由于宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)不是公司財(cái)務(wù)指標(biāo)，因此只能通過(guò)時(shí)序回歸計(jì)算股票在這些因子上的因子載荷(比如常見(jiàn)的對(duì) GDP、利率的敏感度等)。

　　在 Fama and French (1996) 這篇著名的解讀三因子模型的文章中，兩位作者指出，解釋一支股票的截面收益應(yīng)該關(guān)注的是它和因子之間的 β，而非公司指標(biāo)上的取值 —— 比如 B/P 小的公司如果在 HML 上的暴露大，那么該公司實(shí)際上會(huì)被認(rèn)為是價(jià)值股，而非成長(zhǎng)股。

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　　以上例子都說(shuō)明，使用時(shí)序回歸 β 是符合我們認(rèn)知的。但實(shí)證數(shù)據(jù)顯示的卻又是另一個(gè)故事。當(dāng)個(gè)股收益率被放在 LHS 時(shí)，firm characteristics 完勝時(shí)序回歸系數(shù)：前者能獲得 risk premium，但后者卻不行。而 Jegadeesh et al. (2019) 的分析表明，firm characteristics 作為因子載荷時(shí)，它們和未來(lái)因子載荷之間的相關(guān)性甚至還低于使用歷史數(shù)據(jù)時(shí)序回歸的 β 和未來(lái)因子載荷的相關(guān)性。這就是為什么他們把這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)作未解之謎。

　　對(duì)于到底該使用時(shí)序回歸系數(shù)還是 firm characteristics 作為因子載荷，《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》的第六節(jié)曾有過(guò)簡(jiǎn)單討論(今天算是個(gè)進(jìn)階版)。盡管在實(shí)證中 firm characteristics 獲得了顯著的 risk premium，用它作為因子載荷也不能說(shuō) 100% 有道理。從多因子模型來(lái)說(shuō)，股票在因子上的收益正比于它們的因子載荷。但像對(duì)數(shù)市值或 P/B 這些指標(biāo)，即使公司 A 的指標(biāo)是公司 B 的兩倍，也不能說(shuō) A 在該因子上獲得的收益率就是 B 的兩倍;從因子模型的本質(zhì)來(lái)說(shuō)，收益率時(shí)序回歸系數(shù)作為因子載荷更加合理。但另一方面，當(dāng)公司基本面發(fā)生較大變化時(shí)，回歸系數(shù)的變化又不能及時(shí)、準(zhǔn)確的反映股票在因子上暴露的變化。無(wú)論如何，選擇正確的因子載荷是我們需要解決的問(wèn)題。

　　從“真香”的角度來(lái)說(shuō)，似乎使用 firm characteristics 無(wú)可厚非;但是從真相的角度來(lái)說(shuō)，我們還有很長(zhǎng)的路要走。

　　So, which beta?

　　

　　參考文獻(xiàn)

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　　聲明丨作者：石川，量信投資創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士;精通各種概率模型和統(tǒng)計(jì)方法，擅長(zhǎng)不確定性隨機(jī)系統(tǒng)的建模及優(yōu)化。