Duration，久期，是固定收益課程中最為核心的概念。從固定收益上課的第一天，這個知識點就一直伴隨著CFA考生左右。Duration是用來衡量債券的利率風(fēng)險的。那么為什么又說如果欠別人1000元，選擇一年還500元的方式比起最后一次性還1000元的duration小呢?又是風(fēng)險度量，又體現(xiàn)時間跨度。Duration到底在說些什么?

　　下面我們具體來看下duration的定義公式及其分類。

　　Duration的定義和公式

　　1、 Duration is a measure of the price sensitivity of a security to changes in yield. 久期就是債券價格相對于債券收益率的敏感性。

　　債券價格變化的百分比

　　是收益率的百分比變化，所以久期又可近似看成收益率變動1個百分點(或者100個基點)時價格的百分比變化。

　　2、三種久期:

　　有效久期Effective duration (ED)

　?。簆referred，無論對于有沒有內(nèi)嵌期權(quán)embedded options的債券都適用，比如可贖回債券(callable bonds)或可回售債券(putable bonds)。

　　麥考林久期Macaulay duration (麥考林D) : 是以時間形式來衡量債券敏感性的指標(biāo)。其本質(zhì)是通過計算債券償還現(xiàn)金流的加權(quán)平均年限，來衡量債券價格變化敏感度。只適用于收益率(yield)變動不影響現(xiàn)金流的情況(即沒有內(nèi)嵌期權(quán))。

　　修正久期Modified duration (ModD)：對麥考林D進(jìn)行了修正，加入考慮了到期收益率yield to maturiy。只適用于收益率變動不影響現(xiàn)金流的情況(即沒有內(nèi)嵌期權(quán))。比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麥考林久期的基礎(chǔ)上，除以1.05.

　　3、使用前提： yield curve的平行移動，才可以用Duration來衡量。而且衡量不含權(quán)債券的時候用麥考林D和modify D，而衡量含權(quán)債券的時候用ED。

　　4、浮動債券Floatingbond的久期有兩種情況

　　(1)如果在重置日期(Reseting day)，也就是剛付完利息，在起始點的時候久期為0;

　　(2)在2個付息日之間，duration就是付息期時間的長度。假如：假如：180天付息，持有了30天，那么久期是150天。

　　5、含權(quán)債券的久期小于不含權(quán)債券的久期。

　　6、零息債券的久期最大，利率風(fēng)險也最大。

　　美元久期(Dollar Duration)

　　1、Dollar Duration is the approximate price change in dollars in response to a change in yield of 100 basis points (1%)

　　美元久期是收益率變動100個基點(也即1%)時，債券價格的變化值。計算公式就是：美元久期≈久期×債券價格×1%

　　2、Dollar Duration≈D*P*1%

　　3、溢價發(fā)行的債券Dollar Duration大于折價發(fā)行的債券久期。

　　久期和凸度(convexity)

　　1、Duration適用于yield curve小幅度的平行移動。當(dāng)移動幅度較大時(如2個百分點)，則duration對價格變動的估算準(zhǔn)確度大幅下降。

　　2、Yield curve移動幅度越大，價格曲線的凸度(convexity)越大, duration的估算精確度就越低。

　　3、不論yield變動的方向，用duration所估算的價格始終低于實際的價格。

　　資產(chǎn)組合的久期(Portfolio Duration)

　　1、投資組合的久期是單個資產(chǎn)久期的一個加權(quán)平均，其中，權(quán)重是各個資產(chǎn)在組合中所占的市值權(quán)重。

　　portfolio duration = W1D1+ W2D2+ ...+WnDn

　　2、反向浮動的duration是需要考量權(quán)重的。例如，有一個息票率為12%的債券，久期等于3，之后做了一個反向浮動債券。變成LIBOR+(12%-LIBOR)這個投資組合，所以把LIBOR作為組合的一部分，duration為0，權(quán)重為1/4;(12%-LIBOR)作為組合第二部分,權(quán)重為3/4 → portfolio duration是0*W1+X*W2=3，可以求出(12%-LIBOR)這個組合為4

　　3、缺陷：資產(chǎn)組合的久期，需要假設(shè)組合中的所有債券同時同向移動，比如同時移動100個基準(zhǔn)點basis point(即收益率曲線yield curve的一個平行移動)。很多時候因為不同的債券有不同的到期日，信用風(fēng)險以及含權(quán)情況不同，收益率曲線并不是平行移動的。在這樣的情況下，portfolio duration不適用。

　　以上是所有久期的定義和公式，下面我們來看兩三道例題，來體會一下久期的應(yīng)用吧。

　　久期的應(yīng)用

　　Example 1:

　　The duration of an option-free bond priced at $900 is 8.5. If yields decrease by 150basis points, the most accurate statement about the actual price of the bond after the decrease in yields is that the actual price will be:

　　A. Equal to $1,014.75.

　　B. Greater than 1,014.75.

　　C. Less than 1,014.75 because the lower level of yields increases the bond's interest rate risk.

　　Answer: B

　　這道題我們首先要理解duration的概念，知道它代表的是yield變動100個基點帶來的債券價格的percentage變動。

　　The price adjustment for duration can be calculated as follows:

　　8.5 X (0.015) X 100 = 12.75%.

　　$900(1.1275) = $1,014.75

　　其次我們要理解duration用于衡量的是小規(guī)模的收益率曲線的平行移動的影響。對于較大的移動，要考慮到凸度，只考慮久期會低估價格。Thus,Once an adjustment is made for convexity, the price would be greater than$1,014.75.

　　Example 2

　　Which of the following measure is the most accurate to callable bond?

　　A. Effective duration

　　B. Macaulay duration

　　C. Modified duration

　　Answer: A

　　Macaulay duration和MD都不適用于yield變動影響現(xiàn)金流的情況(有embedded options)，只有ED適用于有embedded options的債券。

　　Example 3

　　The table below provides information about a portfolio of three bonds.

　　Based on this information, the duration of the portfolio is closest to:

　　A. 9.35

　　B. 9.48

　　C. 9.74

　　Answer:A

　　這道題要求我們計算portfolio duration. 陷阱在于權(quán)重的計算。注意權(quán)重的計算須要用總市值作為分母。

　　在具體計算的時候，要了解 par amount的含義，這是很多CFA報名考生迷惑的地方。這里的par amount指的是以par發(fā)行時候的value, 如果債券面值是$100，那么發(fā)行的數(shù)量就是par amount/100, 所以某種債券現(xiàn)在的市值就是price*(par amount/100)。

　　根據(jù)題目，我們可以都出portfolio的總市值

　　=109.2461*16000000/100+100.4732*4000000/100

　　+84.6427*8000000/100=28269720

　　各portfolio的權(quán)重：

　　W1=09.2461*16000000/28269720=61.83%;

　　W2=100.4732*4000000/28269720=14.22%;

　　W3=84.6427*8000000/28269720=23.96%

　　Portfolio duration=61.83%*8.56+14.22%*9.19+23.96%*11.48=9.35

　

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