蒙特卡洛方法的由來(lái)
蒙特卡洛(Monte Carlo)是摩納哥(Monaco)公國(guó)的一座城市，位于歐洲地中海之濱、法國(guó)的東南方，屬于一個(gè)版圖很小的國(guó)家摩納哥公國(guó)，世人稱(chēng)之為“賭博之國(guó)”、“袖珍之國(guó)”、“郵票小國(guó)”
蒙特卡洛方法正是以概率為基礎(chǔ)的方法，因?yàn)榕既恍院碗S機(jī)結(jié)果是建模技術(shù)的核心，就像輪盤(pán)賭，骰子和老虎機(jī)等游戲一樣。>>CFRM蒙特卡洛模擬課程
蒙特卡洛方法(Monte Carlo method)，也稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)40年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算方法。其使用隨機(jī)數(shù)(或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù))來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。
該技術(shù)最初由Stanislaw Ulam開(kāi)發(fā)，他是二戰(zhàn)時(shí)美國(guó)制造原子彈的曼哈頓項(xiàng)目(Manhattan Project)的猶太裔數(shù)學(xué)家。戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后，Ulam在從腦部手術(shù)中恢復(fù)過(guò)來(lái)，通過(guò)玩無(wú)數(shù)的紙牌游戲來(lái)娛樂(lè)自己。他開(kāi)始有興趣繪制每個(gè)游戲的結(jié)果，以觀察他們的分布并確定獲勝的概率。在與John Von Neumann(就是大名鼎鼎的馮.諾依曼)分享他的想法之后，兩人合作開(kāi)發(fā)了蒙特卡洛模擬。
蒙特卡洛模擬用于模擬一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中不同結(jié)果可能出現(xiàn)的概率，而這一隨機(jī)過(guò)程由于其中蘊(yùn)含的隨機(jī)變量的干擾而變得不易預(yù)測(cè)。這是一種用于理解風(fēng)險(xiǎn)和不確定性對(duì)預(yù)測(cè)模型的影響的技術(shù)。
蒙特卡洛模擬也稱(chēng)為多概率模擬。
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一道投行初級(jí)“寬客”(Quant)面試題
問(wèn)：如何設(shè)計(jì)一個(gè)蒙特卡洛模擬的方法來(lái)估算圓周率π?不記得圓周率了嗎?就是我國(guó)南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家祖沖之推算出的圓周率不等式，精確到了小數(shù)點(diǎn)后第7位!思路如下：
我們繪制一個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，并繪制一個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的四分之一圓，如下圖所示。
現(xiàn)在，我們手頭有個(gè)機(jī)器人MC(任何一臺(tái)電腦都可以做到)可以幫到我們。>>CFRM課程內(nèi)容咨詢
機(jī)器人MC的任務(wù)是在單位正方形內(nèi)隨機(jī)放置盡可能多的點(diǎn)，如放上 3000 次，會(huì)得到如下這張圖：
所謂"隨機(jī)"，即單位正方形內(nèi)任何一點(diǎn)得到機(jī)器人MC訪問(wèn)的概率是一樣的。每次將點(diǎn)放入四分之一圓內(nèi)時(shí)，機(jī)器人MC都需要計(jì)數(shù)。最后，π的值將由下列公式給出：
(小問(wèn)題：為什么是這個(gè)公式?提示：?jiǎn)挝徽叫魏退姆种粓A面積關(guān)系)其中 N 是四分之一圓內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，可以看到，除了計(jì)算沒(méi)有落入圓內(nèi)部的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)外沒(méi)有任何其它操作，然后選一個(gè)比率來(lái)近似 π 的值。隨著模擬次數(shù)n的增多，模擬出來(lái)的圓周率π就會(huì)越精確。相信大數(shù)學(xué)家祖沖之知道有這么一個(gè)簡(jiǎn)單的方法估算圓周率，他肯定會(huì)很興奮的吧!
蒙特卡洛模擬的應(yīng)用
當(dāng)在預(yù)測(cè)或估算過(guò)程中面臨重大不確定性時(shí)，蒙特卡洛模擬可能被證明是一種更好的解決方案，而不僅僅是用單一平均數(shù)替換不確定變量。
蒙特卡洛模擬可用于解決幾乎所有領(lǐng)域的一系列問(wèn)題。在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、計(jì)算物理學(xué)(如量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算等)，以及機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。
由于商業(yè)和金融受到隨機(jī)變量的困擾，蒙特卡洛模擬在這些領(lǐng)域具有廣泛的潛在應(yīng)用。
它們可以用于估算大型項(xiàng)目中成本超支的概率以及資產(chǎn)價(jià)格以某種方式移動(dòng)的可能性。
電信使用它們來(lái)評(píng)估不同情況下的網(wǎng)絡(luò)性能，幫助他們優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)。
分析師使用它們來(lái)評(píng)估實(shí)體違約的風(fēng)險(xiǎn)并分析衍生品(如期權(quán))。
保險(xiǎn)公司和油井鉆探也使用它們。蒙特卡洛模擬在商業(yè)和金融之外也有著無(wú)數(shù)的應(yīng)用，例如氣象學(xué)，天文學(xué)和粒子物理學(xué)。
蒙特卡洛模擬的例子：資產(chǎn)價(jià)格模擬
采用蒙特卡洛模擬的一種方法是使用Excel或類(lèi)似程序?qū)Y產(chǎn)價(jià)格的可能變動(dòng)進(jìn)行建模。
資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)有兩個(gè)組成部分：
代表資產(chǎn)價(jià)格的漂移量(Drift，即恒定的定向運(yùn)動(dòng))，
以及代表市場(chǎng)波動(dòng)(Volatility)的隨機(jī)輸入。通過(guò)分析和利用歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，你可以確定證券的漂移 (drift)，標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation, 即波動(dòng)率)，方差(variance)和平均價(jià)格變動(dòng)。這些是蒙特卡洛模擬的組成部分。
要預(yù)測(cè)一個(gè)可能的價(jià)格軌跡，首先請(qǐng)使用資產(chǎn)的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，使用自然對(duì)數(shù)生成一周期性每日回報(bào)序列(請(qǐng)注意，此公式與通常的百分比變化公式不同)：
接下來(lái)，在整個(gè)生成的周期性日回報(bào)序列中使用AVERAGE，STDEV.P和VAR.P等Excel函數(shù)，分別獲得平均日回報(bào)，標(biāo)準(zhǔn)差和方差輸入。
漂移drift等于：
其中，利用上面生成的周期性每日回報(bào)序列作為輸入
平均每日回報(bào)=利用Excel的AVERAGE函數(shù)計(jì)算而來(lái)
方差=利用Excel的VAR.P函數(shù)中計(jì)算而來(lái)
或者，也可以將漂移設(shè)置為 0; 這種選擇反映了一定的理論取向，但差異不會(huì)很大，至少在較短的時(shí)間范圍內(nèi)不會(huì)很顯著。
接下來(lái)我們就可以通過(guò)下面的公式獲取關(guān)鍵的隨機(jī)變量序列:
其中：σ=標(biāo)準(zhǔn)偏差，由Excel的STDEV.P函數(shù)通過(guò)計(jì)算上面生成的周期性日回報(bào)序列而得到。NORMSINV和RAND都是Excel函數(shù)，分別返回標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)的反函數(shù)，以及生成一個(gè)在0到1之間的隨機(jī)變量。
于是，第二天資產(chǎn)的預(yù)測(cè)價(jià)格序列的公式就可以定義為：
要在Excel中將e取為給定的冪x，請(qǐng)使用EXP函數(shù)：EXP(x)。重復(fù)此計(jì)算直到所需的次數(shù)(每次重復(fù)代表一天)，以獲得未來(lái)價(jià)格變動(dòng)的模擬。
通過(guò)生成任意數(shù)量的模擬，你可以評(píng)估證券價(jià)格在給定軌跡后的可能性。
下面的一個(gè)實(shí)例，展示了2015年11月剩余時(shí)間的時(shí)代華納公司(TWX)股票的約30個(gè)預(yù)測(cè)軌跡：
該模擬產(chǎn)生的不同結(jié)果的頻率將形成正態(tài)分布(normal distribution)，即鐘形曲線(Bell curve)。
最可能的回報(bào)是在曲線的中間，這意味著實(shí)際回報(bào)將高于或低于該值的可能性相等。實(shí)際收益在最可能(“預(yù)期”)率的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的概率為68%;它將在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的概率為95%;并且它將在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)是99.7%。不過(guò), 不能保證最預(yù)期的結(jié)果會(huì)發(fā)生, 也不能保證實(shí)際走勢(shì)不會(huì)超過(guò)最瘋狂的預(yù)測(cè)。
至關(guān)重要的是, 蒙特卡洛模擬忽略了所有不包含在價(jià)格變動(dòng)中的內(nèi)容 (宏觀趨勢(shì)、公司領(lǐng)導(dǎo)力、炒作、周期性因素);換句話說(shuō)，他們假設(shè)了一個(gè)完全有效的市場(chǎng)(perfectly efficient markets)。例如，時(shí)代華納在11月4日降低了對(duì)年度預(yù)期的事實(shí)在這里沒(méi)有反映出來(lái)，除了當(dāng)天的價(jià)格走勢(shì)數(shù)據(jù)中的最后一個(gè)值;如果考慮到這一事實(shí)，大部分模擬可能不會(huì)去預(yù)測(cè)到當(dāng)天價(jià)格會(huì)出現(xiàn)小幅上漲。
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