蒙特卡洛方法的由來
蒙特卡洛(Monte Carlo)是摩納哥(Monaco)公國的一座城市，位于歐洲地中海之濱、法國的東南方，屬于一個版圖很小的國家摩納哥公國，世人稱之為“賭博之國”、“袖珍之國”、“郵票小國”
蒙特卡洛方法正是以概率為基礎(chǔ)的方法，因為偶然性和隨機結(jié)果是建模技術(shù)的核心，就像輪盤賭，骰子和老虎機等游戲一樣。>>CFRM蒙特卡洛模擬課程
蒙特卡洛方法(Monte Carlo method)，也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀40年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的數(shù)值計算方法。其使用隨機數(shù)(或更常見的偽隨機數(shù))來解決很多計算問題的方法。
該技術(shù)最初由Stanislaw Ulam開發(fā)，他是二戰(zhàn)時美國制造原子彈的曼哈頓項目(Manhattan Project)的猶太裔數(shù)學(xué)家。戰(zhàn)爭結(jié)束后，Ulam在從腦部手術(shù)中恢復(fù)過來，通過玩無數(shù)的紙牌游戲來娛樂自己。他開始有興趣繪制每個游戲的結(jié)果，以觀察他們的分布并確定獲勝的概率。在與John Von Neumann(就是大名鼎鼎的馮.諾依曼)分享他的想法之后，兩人合作開發(fā)了蒙特卡洛模擬。
蒙特卡洛模擬用于模擬一個隨機過程中不同結(jié)果可能出現(xiàn)的概率，而這一隨機過程由于其中蘊含的隨機變量的干擾而變得不易預(yù)測。這是一種用于理解風險和不確定性對預(yù)測模型的影響的技術(shù)。
蒙特卡洛模擬也稱為多概率模擬。
Bonus
一道投行初級“寬客”(Quant)面試題
問：如何設(shè)計一個蒙特卡洛模擬的方法來估算圓周率π?不記得圓周率了嗎?就是我國南北朝時期著名的數(shù)學(xué)家祖沖之推算出的圓周率不等式，精確到了小數(shù)點后第7位!思路如下：
我們繪制一個單位長度的正方形，并繪制一個單位長度為半徑的四分之一圓，如下圖所示。
現(xiàn)在，我們手頭有個機器人MC(任何一臺電腦都可以做到)可以幫到我們。>>CFRM課程內(nèi)容咨詢
機器人MC的任務(wù)是在單位正方形內(nèi)隨機放置盡可能多的點，如放上 3000 次，會得到如下這張圖：
所謂"隨機"，即單位正方形內(nèi)任何一點得到機器人MC訪問的概率是一樣的。每次將點放入四分之一圓內(nèi)時，機器人MC都需要計數(shù)。最后，π的值將由下列公式給出：
(小問題：為什么是這個公式?提示：單位正方形和四分之一圓面積關(guān)系)其中 N 是四分之一圓內(nèi)部的點數(shù)，可以看到，除了計算沒有落入圓內(nèi)部的隨機點數(shù)外沒有任何其它操作，然后選一個比率來近似 π 的值。隨著模擬次數(shù)n的增多，模擬出來的圓周率π就會越精確。相信大數(shù)學(xué)家祖沖之知道有這么一個簡單的方法估算圓周率，他肯定會很興奮的吧!
蒙特卡洛模擬的應(yīng)用
當在預(yù)測或估算過程中面臨重大不確定性時，蒙特卡洛模擬可能被證明是一種更好的解決方案，而不僅僅是用單一平均數(shù)替換不確定變量。
蒙特卡洛模擬可用于解決幾乎所有領(lǐng)域的一系列問題。在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、計算物理學(xué)(如量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算等)，以及機器學(xué)習等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。
由于商業(yè)和金融受到隨機變量的困擾，蒙特卡洛模擬在這些領(lǐng)域具有廣泛的潛在應(yīng)用。
它們可以用于估算大型項目中成本超支的概率以及資產(chǎn)價格以某種方式移動的可能性。
電信使用它們來評估不同情況下的網(wǎng)絡(luò)性能，幫助他們優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)。
分析師使用它們來評估實體違約的風險并分析衍生品(如期權(quán))。
保險公司和油井鉆探也使用它們。蒙特卡洛模擬在商業(yè)和金融之外也有著無數(shù)的應(yīng)用，例如氣象學(xué)，天文學(xué)和粒子物理學(xué)。
蒙特卡洛模擬的例子：資產(chǎn)價格模擬
采用蒙特卡洛模擬的一種方法是使用Excel或類似程序?qū)Y產(chǎn)價格的可能變動進行建模。
資產(chǎn)價格變動有兩個組成部分：
代表資產(chǎn)價格的漂移量(Drift，即恒定的定向運動)，
以及代表市場波動(Volatility)的隨機輸入。通過分析和利用歷史價格數(shù)據(jù)，你可以確定證券的漂移 (drift)，標準差(standard deviation, 即波動率)，方差(variance)和平均價格變動。這些是蒙特卡洛模擬的組成部分。
要預(yù)測一個可能的價格軌跡，首先請使用資產(chǎn)的歷史價格數(shù)據(jù)，使用自然對數(shù)生成一周期性每日回報序列(請注意，此公式與通常的百分比變化公式不同)：
接下來，在整個生成的周期性日回報序列中使用AVERAGE，STDEV.P和VAR.P等Excel函數(shù)，分別獲得平均日回報，標準差和方差輸入。
漂移drift等于：
其中，利用上面生成的周期性每日回報序列作為輸入
平均每日回報=利用Excel的AVERAGE函數(shù)計算而來
方差=利用Excel的VAR.P函數(shù)中計算而來
或者，也可以將漂移設(shè)置為 0; 這種選擇反映了一定的理論取向，但差異不會很大，至少在較短的時間范圍內(nèi)不會很顯著。
接下來我們就可以通過下面的公式獲取關(guān)鍵的隨機變量序列:
其中：σ=標準偏差，由Excel的STDEV.P函數(shù)通過計算上面生成的周期性日回報序列而得到。NORMSINV和RAND都是Excel函數(shù)，分別返回標準正態(tài)累積分布函數(shù)的反函數(shù)，以及生成一個在0到1之間的隨機變量。
于是，第二天資產(chǎn)的預(yù)測價格序列的公式就可以定義為：
要在Excel中將e取為給定的冪x，請使用EXP函數(shù)：EXP(x)。重復(fù)此計算直到所需的次數(shù)(每次重復(fù)代表一天)，以獲得未來價格變動的模擬。
通過生成任意數(shù)量的模擬，你可以評估證券價格在給定軌跡后的可能性。
下面的一個實例，展示了2015年11月剩余時間的時代華納公司(TWX)股票的約30個預(yù)測軌跡：
該模擬產(chǎn)生的不同結(jié)果的頻率將形成正態(tài)分布(normal distribution)，即鐘形曲線(Bell curve)。
最可能的回報是在曲線的中間，這意味著實際回報將高于或低于該值的可能性相等。實際收益在最可能(“預(yù)期”)率的一個標準差內(nèi)的概率為68%;它將在兩個標準差內(nèi)的概率為95%;并且它將在三個標準偏差內(nèi)是99.7%。不過, 不能保證最預(yù)期的結(jié)果會發(fā)生, 也不能保證實際走勢不會超過最瘋狂的預(yù)測。
至關(guān)重要的是, 蒙特卡洛模擬忽略了所有不包含在價格變動中的內(nèi)容 (宏觀趨勢、公司領(lǐng)導(dǎo)力、炒作、周期性因素);換句話說，他們假設(shè)了一個完全有效的市場(perfectly efficient markets)。例如，時代華納在11月4日降低了對年度預(yù)期的事實在這里沒有反映出來，除了當天的價格走勢數(shù)據(jù)中的最后一個值;如果考慮到這一事實，大部分模擬可能不會去預(yù)測到當天價格會出現(xiàn)小幅上漲。
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