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投資組合理論的鼻祖是馬科維茲均方差優(yōu)化理論模型（下稱MVO），本文將在經典MVO的基礎上，手把手使用Matlab進行組合績效分析基礎教學，并舉例說明。
?。ǘR科維茲模型理論回顧
經典MVO模型為多目標優(yōu)化問題，有效前沿即多目標優(yōu)化問題的帕累托解（即風險一定，收益最大；收益一定，風險最小），具體模型為：
其中，
是第i種資產的預期收益率；
是投資組合的權重向量；
是n種資產間的協(xié)方差矩陣；
分別是投資組合的期望收益率和收益率的方差。
是第i種資產的預期收益率；是投資組合的權重向量；是n種資產間的協(xié)方差矩陣；分別是投資組合的期望收益率和收益率的方差。 MVO以預期收益率期望衡量收益，以收益率方差衡量風險。如果用資產的歷史收益率的均值作為未來期望收益率，可能會造成“追漲”的效果，在實際中這些收益率可能是由研究人員給定的；在計算組合風險值時，如果用資產的歷史收益率的協(xié)方差衡量組合風險與相關性，可能會造成預期偏差，也就是指未來實際協(xié)方差矩陣與歷史協(xié)方差矩陣之間存在偏差。在舉例說明的時候，本著計算結果可追溯性原則，我們直接采用歷史收益率序列的統(tǒng)計值。
舉例：
我們選取三只基金：上投摩根**、銀葉穩(wěn)健**、富善致遠**，其一級策略分類分別是股票策略、債券策略、管理期貨，2015-12至2016-10月收益率數據統(tǒng)計表如表1所示，如何使用MVO模型構建投資組合？
值得說明的是，在我們CHFDB數據庫中調取上投摩根**（JR000010）這只基金的SQL語句為：
另外兩只基金只要替換基金ID：銀葉穩(wěn)健**（JR000005）、富善致遠**（JR000017）即可。
?。ㄈ┦找媾c風險計算函數
在Matlab金融工具箱中計算組合收益與風險為portstats函數，引用程序如下：
我們可以很容易看到，等權重配置的投資組合收益為0.58%，組合風險為0.96%，比起單只基金來看，均處于中等水平。示例采用基金的月收益率序列的均值作為預期收益率，其實可以根據投資經理的經驗對基金未來漲幅做一個預期。
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MVO為經典的帶約束的二次優(yōu)化問題，在給定期望收益時，方差最小解唯一（可行解域為凸），我們在Matlab中可以使用Portfolio這個結構，并利用其子屬性給定約束條件。首先看一下其簡單應用：
將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題。即：給定ei計算相應風險最小的組合，即得到有效前沿上的一點（有效組合），給定一系列ei則可以有效描繪出有效前沿。組合收益介于單個資產的最大受益與最小收益之間，例如上例中最大收益為管理期貨策略1.23%、最小收益為股票策略-0.02%，ei為最大收益與最小收益間的等分。
舉例：
如何配置以上三只基金的比例，是資產組合為有效組合？引用程序如下：
通過以上程序則可畫出投資組合有效前沿：
并且可以得到有效投資組合的權重：
由于管理期貨策略的這只基金平均收益率較高，因此在優(yōu)化組合配置中可能會給予其較高的權重，可以適當增加約束條件以限制其比重。
?。ㄎ澹┘s束條件下有效前沿
在實際進行資產配置時要考慮到合法合規(guī)或者風險敞口控制等限制條件，這樣會給組合構建帶來約束（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告），例如基金“雙百分之十規(guī)則”：基金投資于某一證券的市值不能超過基金資產的10%，基金投資于某一上市公司股票不能超過該公司市值的10%。同樣我們也可以使用Portfolio這個結構，并利用其子屬性給定約束條件來求解。
舉例：
配置上投摩根**、銀葉穩(wěn)健**、富善致遠**三只基金，其中股票策略最大配置50%，債券策略最大配置90%，管理期貨最大配置80%；股票策略與債券策略組成資產集合A，管理期貨獨立為資產集合B，集合A的最大配置為50%，集合B的最大配置為80%，集合A的配置不能超過集合B的1.5倍，應該如何配置？
引用程序如下：
有約束的投資組合有效前沿：
同樣可以得到有效投資組合的權重：
比較有無約束條件所求得的結果可以發(fā)現，均方差優(yōu)化理論對風險敞口的控制意義重大。
MVO的預期收益率與協(xié)方差矩陣的計算方法可以根據研究人員或投資經理對市場的理解進行選擇，不同選擇做出的有效前沿差距可能會比較大。
常用的還有風險平價策略，它是對組合中不同資產分配相同的風險權重的一種投資策略。
大類資產的配置中使用風險平價策略，旨在探討該策略在資本市場中的實際表現，同時運用等權重策略與之進行對比。
?。ㄒ唬╋L險平價FOF的實證
隨著國內投資品種的多樣化和投資渠道的日益完善，商品期貨已成為資產配置體系中除股票和債券之外的一類重要品種。因此，在研究股債配置的基礎上，進一步將這類資產納入風險平價組合有著很強的現實意義。
本文選擇：市場中性策略私募指數、債券基金私募指數、管理期貨策略私募指數、事件驅動策略私募指數、相對價值策略私募指數為研究對象，重點分析風險平價策略對資產組合績效的影響。值得一提的是，由于市場中性是二級策略，其一級策略為股票策略，本文將用該策略指數作為股票策略的配置資產。
下表列示了所選月度策略指數的相關系數：
表2各投資策略指數相關系數表
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
?。ǘ╋L險平價FOF的權重分配
五類資產的周度收益率數據從2014年1月6日起至2017年4月17日（周一），本文以一個月為周期進行調倉，得出風險平價配置策略的動態(tài)權重，得到一條風險平價FOF的凈值曲線（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。由于管理期貨、相對價值策略私募指數成立基期都在2014年1月6日，相對較晚，因此調整所有資產凈值至該日期，調整后凈值從1.000開始，將五類資產與風險平價FOF組合的累計凈值走勢畫在圖中。
圖1五類資產與風險平價FOF的累計凈值
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
從圖1可以看出，除風險平價FOF和債券策略外，其它資產的累計凈值動態(tài)變化差別極大。管理期貨策略指數的累計凈值呈現明顯的上升趨勢，事件驅動策略的累計凈值在2015年6月出現明顯的下降，而且在2016年1月也出現大幅下跌，這兩個時間點都是與市場行情相契合的（滬深300指數）。
股票策略（市場中性）指數的累計凈值上下起伏，但幾乎可以保持在1以上。風險平價FOF和債券策略指數的累計凈值均保持平穩(wěn)，但風險平價FOF的累計凈值在每個調倉日均高于債券策略指數。通過比較，風險平價FOF的累計收益雖不及相對價值、事件驅動、管理期貨策略指數，但是在收益的穩(wěn)定性上卻有著壓倒性的優(yōu)勢。
圖2風險平價FOF中五類資產的權重分配動態(tài)
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
除了收益表現外，風險平價FOF中各類資產的權重分配也是投資者關心的對象（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。圖2展示了每個調倉日各類資產在風險平價FOF中的權重變化。整體來看，各類資產的權重保持著較為穩(wěn)定的比例。在任意一個調倉日，債券策略的權重都保持在四成左右（所以六四法則也有其客觀科學依據所在），這也是風險平價FOF能夠保持回撤小、波動低的關鍵因素。
股票策略（市場中性）的權重保持在20%左右，事件驅動策略的權重比例處于2%-10%區(qū)間內，相對價值策略的權重保持在15%左右，管理期貨策略的權重保持在10%-20%之間。
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作為一種全新的資產配置理念，風險平價策略和其它傳統(tǒng)的配置方法相比有哪些優(yōu)勢？為了回答這一問題，本文先簡單地將風險平價策略與等權重配置策略進行比較。
圖3風險平價FOF與等權重FOF的累計凈值
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
圖3展示了不同配置策略累計凈值的動態(tài)變化，從圖中可以清楚的看到，等權重FOF的累計凈值在每個調倉時點上都要明顯高于風險平價FOF，且呈現明顯的上升趨勢；風險平價FOF的累計凈值呈現平穩(wěn)上升，變動幅度很小。但是，風險平價FOF累計凈值的穩(wěn)定性要優(yōu)于等權重FOF。
（四）小結
本文將風險平價策略應用到大類資產配置的實證研究中。通過研究發(fā)現，風險平價FOF的累計收益雖不及相對價值、事件驅動、管理期貨策略指數以及等權重FOF，但是在收益的穩(wěn)定性上卻有著壓倒性的優(yōu)勢。綜上所述，風險平價策略在收益-風險綜合方面比等權重策略更加優(yōu)異。
實證結果顯示，在任意一個調倉日，債券策略的權重都保持在四成左右，這也是風險平價FOF能夠保持回撤小、波動低的關鍵因素。今天我們在前文的基礎上，提出改進的風險平價策略，適當增加債券基金的杠桿，將會有很大程度的改進效果。
本文選擇：市場中性策略私募指數、債券基金私募指數、管理期貨策略私募指數、事件驅動策略私募指數、相對價值策略私募指數為研究對象，重點分析風險平價策略對資產組合績效的影響（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。值得一提的是，由于市場中性是二級策略，其一級策略為股票策略，本文將用該策略指數作為股票策略的配置資產。
（一）對杠桿的解釋
出于對比的目的，我們繼續(xù)采用之前的資產類別和算法來構建加入杠桿的風險平價FOF。由于上證5年期國債可通過一定的方式質押獲取資金，繼續(xù)用來購買國債。假設投資者持有1萬元國債，銀行質押率假定為90%，則投資者質押持有的債券能獲得0.9萬現金，然后繼續(xù)用來購買國債。在沒有任何限制的條件下，投資者理論上能持有10萬元國債。這樣投資債券的收益和風險同時被放大，風險平價策略就能發(fā)揮更大的作用。
理論上來說確實如此，連橋水資本也認為對資產做適度的杠桿是合意的。實際上目前我們接觸的許多資產都帶有杠桿，有些是顯性杠桿，也有些是隱性杠桿（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。對債券加杠桿是典型的顯性杠桿，而作為公司所有權憑證的股票實際已經自帶隱性杠桿。
將風險平價方法與杠桿方式結合的方法可能有幾種方式：
一是對已經風險平價的組合做整體的杠桿處理，即通過風險平價求得資產組合權重，為了達到客戶需求的收益/風險目標，而對組合整體做杠桿處理。盡管在多數情況下這種杠桿處理一般是加杠桿的操作，但是當各類風險資產均表現不佳時，做降杠桿處理也是有可能的。當然，這種方式有個必要前提，即組合中所有的資產均可以被杠桿化。
二是對某幾類資產指定或預設一個合適的杠桿比例，對放杠桿后的新資產池運用風險平價理論，求得其風險平價資產配置，通過對杠桿比例的人為調整，得到杠桿比例、預期收益、預期風險、資產配置的一一對應關系。此時投資者對組合收益/風險的要求可以從風險收益表單中查詢得到。這第二種方式是我們的重點研究對象。
三是對某幾類資產預設一個合理的杠桿比例區(qū)間，重復運用風險平價理論，求得各種情況下的風險平價資產配置。此時投資者對組合收益/風險的要求可以從風險收益表單中查詢得到。
在后兩種假定方法中，對于施加杠桿的資產標的選擇，一般以風險收益比更高的資產為準，因為提高這類資產的比重有助于組合整體風險收益比的進一步提升。
不過，出于防范金融風險的目的，金融機構投資債券的杠桿率受到較為嚴格的控制，很難達到理論值（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。因此，本文針對不同的杠桿率進行了實證分析。既考慮到現實中的可操作性，也能從理論的角度研究風險平價策略的價值。
?。ǘ╋L險平價FOF的權重分配
五類資產的周度收益率數據從2014年1月6日起至2017年4月17日（周一），本文以一個月為周期進行調倉，得出風險平價配置策略的動態(tài)權重，得到五條不同杠桿率下的風險平價FOF的凈值曲線。
圖1五條不同杠桿率的風險平價FOF的累計凈值
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
從圖1中可以得出，通過引入債券杠桿機制，隨著杠桿率的不斷加大及時間的推移，風險平價FOF的累計凈值得到了明顯的提升。由此可見，通過引入債券杠桿機制，可以明顯提高風險平價FOF的收益。
債券杠桿機制在提高風險平價FOF收益的同時，也提高了組合資產的風險。由圖1還可以看到，隨著杠桿率的不斷提升，風險平價FOF累計凈值的波動性在增加。
圖2風險平價FOF中五類資產的權重分配動態(tài)（無杠桿）
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
除了收益表現外，風險平價FOF中各類資產的權重分配也是投資者關心的對象（關注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。圖2展示了每個調倉日各類資產在風險平價FOF中的權重變化。整體來看，各類資產的權重保持著較為穩(wěn)定的比例。在任意一個調倉日，債券策略的權重都保持在四成左右（所以六四法則也有其客觀科學依據所在），這也是風險平價FOF能夠保持回撤小、波動低的關鍵因素。
股票策略（市場中性）的權重保持在20%左右，事件驅動策略的權重比例處于2%-10%區(qū)間內，相對價值策略的權重保持在15%左右，管理期貨策略的權重保持在10%-20%之間。
再來看增加杠桿的情況。
圖3風險平價FOF中五類資產的權重分配動態(tài)（L=2）
數據來源：私募云通CHFDB數據庫
很明顯，圖3和圖2相比，情況更差了，連續(xù)來看杠桿提升至4倍、5倍、甚至9倍的情況。在引入債券杠桿后，通過杠桿放大債券資產的收益和波動率，債券策略基金的權重出現了顯著的下降。股票策略、相對價值策略呈現顯著上升。其中，股票策略資產的權重上升幅度最大。
（三）小結
通過以上分析發(fā)現，杠桿機制的引入不僅保留了風險平價策略原來的優(yōu)勢，而且還改善了原來債券配置比例過高而無法獲取更高收益的不足?？梢灶A見，風險平價模型在未來FOF產品的發(fā)展中將有極大的用武之地。
風險平價策略的這種優(yōu)勢，非常值得實際參與資產配置或者試圖構建相關FOF組合的投資者借鑒與參考，本系列后續(xù)的文章還會從風險平價策略和BL、MVO（均方差優(yōu)化）比較研究的角度深入分析應用，請回到上方文章開頭，點擊“fofpower”訂閱我們。
參考文獻：
[1]海通量化團隊：2016年7月：風險平價策略在FOF中的應用.
