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投資組合理論的鼻祖是馬科維茲均方差優(yōu)化理論模型（下稱MVO），本文將在經(jīng)典MVO的基礎(chǔ)上，手把手使用Matlab進行組合績效分析基礎(chǔ)教學(xué)，并舉例說明。
?。ǘR科維茲模型理論回顧
經(jīng)典MVO模型為多目標優(yōu)化問題，有效前沿即多目標優(yōu)化問題的帕累托解（即風(fēng)險一定，收益最大；收益一定，風(fēng)險最小），具體模型為：
其中，
是第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率；
是投資組合的權(quán)重向量；
是n種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；
分別是投資組合的期望收益率和收益率的方差。
是第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率；是投資組合的權(quán)重向量；是n種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；分別是投資組合的期望收益率和收益率的方差。 MVO以預(yù)期收益率期望衡量收益，以收益率方差衡量風(fēng)險。如果用資產(chǎn)的歷史收益率的均值作為未來期望收益率，可能會造成“追漲”的效果，在實際中這些收益率可能是由研究人員給定的；在計算組合風(fēng)險值時，如果用資產(chǎn)的歷史收益率的協(xié)方差衡量組合風(fēng)險與相關(guān)性，可能會造成預(yù)期偏差，也就是指未來實際協(xié)方差矩陣與歷史協(xié)方差矩陣之間存在偏差。在舉例說明的時候，本著計算結(jié)果可追溯性原則，我們直接采用歷史收益率序列的統(tǒng)計值。
舉例：
我們選取三只基金：上投摩根**、銀葉穩(wěn)健**、富善致遠**，其一級策略分類分別是股票策略、債券策略、管理期貨，2015-12至2016-10月收益率數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如表1所示，如何使用MVO模型構(gòu)建投資組合？
值得說明的是，在我們CHFDB數(shù)據(jù)庫中調(diào)取上投摩根**（JR000010）這只基金的SQL語句為：
另外兩只基金只要替換基金ID：銀葉穩(wěn)健**（JR000005）、富善致遠**（JR000017）即可。
?。ㄈ┦找媾c風(fēng)險計算函數(shù)
在Matlab金融工具箱中計算組合收益與風(fēng)險為portstats函數(shù)，引用程序如下：
我們可以很容易看到，等權(quán)重配置的投資組合收益為0.58%，組合風(fēng)險為0.96%，比起單只基金來看，均處于中等水平。示例采用基金的月收益率序列的均值作為預(yù)期收益率，其實可以根據(jù)投資經(jīng)理的經(jīng)驗對基金未來漲幅做一個預(yù)期。
?。ㄋ模┯行把赜嬎愫瘮?shù)
MVO為經(jīng)典的帶約束的二次優(yōu)化問題，在給定期望收益時，方差最小解唯一（可行解域為凸），我們在Matlab中可以使用Portfolio這個結(jié)構(gòu)，并利用其子屬性給定約束條件。首先看一下其簡單應(yīng)用：
將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題。即：給定ei計算相應(yīng)風(fēng)險最小的組合，即得到有效前沿上的一點（有效組合），給定一系列ei則可以有效描繪出有效前沿。組合收益介于單個資產(chǎn)的最大受益與最小收益之間，例如上例中最大收益為管理期貨策略1.23%、最小收益為股票策略-0.02%，ei為最大收益與最小收益間的等分。
舉例：
如何配置以上三只基金的比例，是資產(chǎn)組合為有效組合？引用程序如下：
通過以上程序則可畫出投資組合有效前沿：
并且可以得到有效投資組合的權(quán)重：
由于管理期貨策略的這只基金平均收益率較高，因此在優(yōu)化組合配置中可能會給予其較高的權(quán)重，可以適當增加約束條件以限制其比重。
?。ㄎ澹┘s束條件下有效前沿
在實際進行資產(chǎn)配置時要考慮到合法合規(guī)或者風(fēng)險敞口控制等限制條件，這樣會給組合構(gòu)建帶來約束（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告），例如基金“雙百分之十規(guī)則”：基金投資于某一證券的市值不能超過基金資產(chǎn)的10%，基金投資于某一上市公司股票不能超過該公司市值的10%。同樣我們也可以使用Portfolio這個結(jié)構(gòu)，并利用其子屬性給定約束條件來求解。
舉例：
配置上投摩根**、銀葉穩(wěn)健**、富善致遠**三只基金，其中股票策略最大配置50%，債券策略最大配置90%，管理期貨最大配置80%；股票策略與債券策略組成資產(chǎn)集合A，管理期貨獨立為資產(chǎn)集合B，集合A的最大配置為50%，集合B的最大配置為80%，集合A的配置不能超過集合B的1.5倍，應(yīng)該如何配置？
引用程序如下：
有約束的投資組合有效前沿：
同樣可以得到有效投資組合的權(quán)重：
比較有無約束條件所求得的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，均方差優(yōu)化理論對風(fēng)險敞口的控制意義重大。
MVO的預(yù)期收益率與協(xié)方差矩陣的計算方法可以根據(jù)研究人員或投資經(jīng)理對市場的理解進行選擇，不同選擇做出的有效前沿差距可能會比較大。
常用的還有風(fēng)險平價策略，它是對組合中不同資產(chǎn)分配相同的風(fēng)險權(quán)重的一種投資策略。
大類資產(chǎn)的配置中使用風(fēng)險平價策略，旨在探討該策略在資本市場中的實際表現(xiàn)，同時運用等權(quán)重策略與之進行對比。
?。ㄒ唬╋L(fēng)險平價FOF的實證
隨著國內(nèi)投資品種的多樣化和投資渠道的日益完善，商品期貨已成為資產(chǎn)配置體系中除股票和債券之外的一類重要品種。因此，在研究股債配置的基礎(chǔ)上，進一步將這類資產(chǎn)納入風(fēng)險平價組合有著很強的現(xiàn)實意義。
本文選擇：市場中性策略私募指數(shù)、債券基金私募指數(shù)、管理期貨策略私募指數(shù)、事件驅(qū)動策略私募指數(shù)、相對價值策略私募指數(shù)為研究對象，重點分析風(fēng)險平價策略對資產(chǎn)組合績效的影響。值得一提的是，由于市場中性是二級策略，其一級策略為股票策略，本文將用該策略指數(shù)作為股票策略的配置資產(chǎn)。
下表列示了所選月度策略指數(shù)的相關(guān)系數(shù)：
表2各投資策略指數(shù)相關(guān)系數(shù)表
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
（二）風(fēng)險平價FOF的權(quán)重分配
五類資產(chǎn)的周度收益率數(shù)據(jù)從2014年1月6日起至2017年4月17日（周一），本文以一個月為周期進行調(diào)倉，得出風(fēng)險平價配置策略的動態(tài)權(quán)重，得到一條風(fēng)險平價FOF的凈值曲線（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。由于管理期貨、相對價值策略私募指數(shù)成立基期都在2014年1月6日，相對較晚，因此調(diào)整所有資產(chǎn)凈值至該日期，調(diào)整后凈值從1.000開始，將五類資產(chǎn)與風(fēng)險平價FOF組合的累計凈值走勢畫在圖中。
圖1五類資產(chǎn)與風(fēng)險平價FOF的累計凈值
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
從圖1可以看出，除風(fēng)險平價FOF和債券策略外，其它資產(chǎn)的累計凈值動態(tài)變化差別極大。管理期貨策略指數(shù)的累計凈值呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，事件驅(qū)動策略的累計凈值在2015年6月出現(xiàn)明顯的下降，而且在2016年1月也出現(xiàn)大幅下跌，這兩個時間點都是與市場行情相契合的（滬深300指數(shù)）。
股票策略（市場中性）指數(shù)的累計凈值上下起伏，但幾乎可以保持在1以上。風(fēng)險平價FOF和債券策略指數(shù)的累計凈值均保持平穩(wěn)，但風(fēng)險平價FOF的累計凈值在每個調(diào)倉日均高于債券策略指數(shù)。通過比較，風(fēng)險平價FOF的累計收益雖不及相對價值、事件驅(qū)動、管理期貨策略指數(shù)，但是在收益的穩(wěn)定性上卻有著壓倒性的優(yōu)勢。
圖2風(fēng)險平價FOF中五類資產(chǎn)的權(quán)重分配動態(tài)
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
除了收益表現(xiàn)外，風(fēng)險平價FOF中各類資產(chǎn)的權(quán)重分配也是投資者關(guān)心的對象（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。圖2展示了每個調(diào)倉日各類資產(chǎn)在風(fēng)險平價FOF中的權(quán)重變化。整體來看，各類資產(chǎn)的權(quán)重保持著較為穩(wěn)定的比例。在任意一個調(diào)倉日，債券策略的權(quán)重都保持在四成左右（所以六四法則也有其客觀科學(xué)依據(jù)所在），這也是風(fēng)險平價FOF能夠保持回撤小、波動低的關(guān)鍵因素。
股票策略（市場中性）的權(quán)重保持在20%左右，事件驅(qū)動策略的權(quán)重比例處于2%-10%區(qū)間內(nèi)，相對價值策略的權(quán)重保持在15%左右，管理期貨策略的權(quán)重保持在10%-20%之間。
（三）不同配置策略的比較
作為一種全新的資產(chǎn)配置理念，風(fēng)險平價策略和其它傳統(tǒng)的配置方法相比有哪些優(yōu)勢？為了回答這一問題，本文先簡單地將風(fēng)險平價策略與等權(quán)重配置策略進行比較。
圖3風(fēng)險平價FOF與等權(quán)重FOF的累計凈值
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
圖3展示了不同配置策略累計凈值的動態(tài)變化，從圖中可以清楚的看到，等權(quán)重FOF的累計凈值在每個調(diào)倉時點上都要明顯高于風(fēng)險平價FOF，且呈現(xiàn)明顯的上升趨勢；風(fēng)險平價FOF的累計凈值呈現(xiàn)平穩(wěn)上升，變動幅度很小。但是，風(fēng)險平價FOF累計凈值的穩(wěn)定性要優(yōu)于等權(quán)重FOF。
?。ㄋ模┬〗Y(jié)
本文將風(fēng)險平價策略應(yīng)用到大類資產(chǎn)配置的實證研究中。通過研究發(fā)現(xiàn)，風(fēng)險平價FOF的累計收益雖不及相對價值、事件驅(qū)動、管理期貨策略指數(shù)以及等權(quán)重FOF，但是在收益的穩(wěn)定性上卻有著壓倒性的優(yōu)勢。綜上所述，風(fēng)險平價策略在收益-風(fēng)險綜合方面比等權(quán)重策略更加優(yōu)異。
實證結(jié)果顯示，在任意一個調(diào)倉日，債券策略的權(quán)重都保持在四成左右，這也是風(fēng)險平價FOF能夠保持回撤小、波動低的關(guān)鍵因素。今天我們在前文的基礎(chǔ)上，提出改進的風(fēng)險平價策略，適當增加債券基金的杠桿，將會有很大程度的改進效果。
本文選擇：市場中性策略私募指數(shù)、債券基金私募指數(shù)、管理期貨策略私募指數(shù)、事件驅(qū)動策略私募指數(shù)、相對價值策略私募指數(shù)為研究對象，重點分析風(fēng)險平價策略對資產(chǎn)組合績效的影響（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。值得一提的是，由于市場中性是二級策略，其一級策略為股票策略，本文將用該策略指數(shù)作為股票策略的配置資產(chǎn)。
?。ㄒ唬Ω軛U的解釋
出于對比的目的，我們繼續(xù)采用之前的資產(chǎn)類別和算法來構(gòu)建加入杠桿的風(fēng)險平價FOF。由于上證5年期國債可通過一定的方式質(zhì)押獲取資金，繼續(xù)用來購買國債。假設(shè)投資者持有1萬元國債，銀行質(zhì)押率假定為90%，則投資者質(zhì)押持有的債券能獲得0.9萬現(xiàn)金，然后繼續(xù)用來購買國債。在沒有任何限制的條件下，投資者理論上能持有10萬元國債。這樣投資債券的收益和風(fēng)險同時被放大，風(fēng)險平價策略就能發(fā)揮更大的作用。
理論上來說確實如此，連橋水資本也認為對資產(chǎn)做適度的杠桿是合意的。實際上目前我們接觸的許多資產(chǎn)都帶有杠桿，有些是顯性杠桿，也有些是隱性杠桿（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。對債券加杠桿是典型的顯性杠桿，而作為公司所有權(quán)憑證的股票實際已經(jīng)自帶隱性杠桿。
將風(fēng)險平價方法與杠桿方式結(jié)合的方法可能有幾種方式：
一是對已經(jīng)風(fēng)險平價的組合做整體的杠桿處理，即通過風(fēng)險平價求得資產(chǎn)組合權(quán)重，為了達到客戶需求的收益/風(fēng)險目標，而對組合整體做杠桿處理。盡管在多數(shù)情況下這種杠桿處理一般是加杠桿的操作，但是當各類風(fēng)險資產(chǎn)均表現(xiàn)不佳時，做降杠桿處理也是有可能的。當然，這種方式有個必要前提，即組合中所有的資產(chǎn)均可以被杠桿化。
二是對某幾類資產(chǎn)指定或預(yù)設(shè)一個合適的杠桿比例，對放杠桿后的新資產(chǎn)池運用風(fēng)險平價理論，求得其風(fēng)險平價資產(chǎn)配置，通過對杠桿比例的人為調(diào)整，得到杠桿比例、預(yù)期收益、預(yù)期風(fēng)險、資產(chǎn)配置的一一對應(yīng)關(guān)系。此時投資者對組合收益/風(fēng)險的要求可以從風(fēng)險收益表單中查詢得到。這第二種方式是我們的重點研究對象。
三是對某幾類資產(chǎn)預(yù)設(shè)一個合理的杠桿比例區(qū)間，重復(fù)運用風(fēng)險平價理論，求得各種情況下的風(fēng)險平價資產(chǎn)配置。此時投資者對組合收益/風(fēng)險的要求可以從風(fēng)險收益表單中查詢得到。
在后兩種假定方法中，對于施加杠桿的資產(chǎn)標的選擇，一般以風(fēng)險收益比更高的資產(chǎn)為準，因為提高這類資產(chǎn)的比重有助于組合整體風(fēng)險收益比的進一步提升。
不過，出于防范金融風(fēng)險的目的，金融機構(gòu)投資債券的杠桿率受到較為嚴格的控制，很難達到理論值（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。因此，本文針對不同的杠桿率進行了實證分析。既考慮到現(xiàn)實中的可操作性，也能從理論的角度研究風(fēng)險平價策略的價值。
?。ǘ╋L(fēng)險平價FOF的權(quán)重分配
五類資產(chǎn)的周度收益率數(shù)據(jù)從2014年1月6日起至2017年4月17日（周一），本文以一個月為周期進行調(diào)倉，得出風(fēng)險平價配置策略的動態(tài)權(quán)重，得到五條不同杠桿率下的風(fēng)險平價FOF的凈值曲線。
圖1五條不同杠桿率的風(fēng)險平價FOF的累計凈值
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
從圖1中可以得出，通過引入債券杠桿機制，隨著杠桿率的不斷加大及時間的推移，風(fēng)險平價FOF的累計凈值得到了明顯的提升。由此可見，通過引入債券杠桿機制，可以明顯提高風(fēng)險平價FOF的收益。
債券杠桿機制在提高風(fēng)險平價FOF收益的同時，也提高了組合資產(chǎn)的風(fēng)險。由圖1還可以看到，隨著杠桿率的不斷提升，風(fēng)險平價FOF累計凈值的波動性在增加。
圖2風(fēng)險平價FOF中五類資產(chǎn)的權(quán)重分配動態(tài)（無杠桿）
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
除了收益表現(xiàn)外，風(fēng)險平價FOF中各類資產(chǎn)的權(quán)重分配也是投資者關(guān)心的對象（關(guān)注私募工場ID：simugongchang，每天都有量化與對沖類深度報告）。圖2展示了每個調(diào)倉日各類資產(chǎn)在風(fēng)險平價FOF中的權(quán)重變化。整體來看，各類資產(chǎn)的權(quán)重保持著較為穩(wěn)定的比例。在任意一個調(diào)倉日，債券策略的權(quán)重都保持在四成左右（所以六四法則也有其客觀科學(xué)依據(jù)所在），這也是風(fēng)險平價FOF能夠保持回撤小、波動低的關(guān)鍵因素。
股票策略（市場中性）的權(quán)重保持在20%左右，事件驅(qū)動策略的權(quán)重比例處于2%-10%區(qū)間內(nèi)，相對價值策略的權(quán)重保持在15%左右，管理期貨策略的權(quán)重保持在10%-20%之間。
再來看增加杠桿的情況。
圖3風(fēng)險平價FOF中五類資產(chǎn)的權(quán)重分配動態(tài)（L=2）
數(shù)據(jù)來源：私募云通CHFDB數(shù)據(jù)庫
很明顯，圖3和圖2相比，情況更差了，連續(xù)來看杠桿提升至4倍、5倍、甚至9倍的情況。在引入債券杠桿后，通過杠桿放大債券資產(chǎn)的收益和波動率，債券策略基金的權(quán)重出現(xiàn)了顯著的下降。股票策略、相對價值策略呈現(xiàn)顯著上升。其中，股票策略資產(chǎn)的權(quán)重上升幅度最大。
?。ㄈ┬〗Y(jié)
通過以上分析發(fā)現(xiàn)，杠桿機制的引入不僅保留了風(fēng)險平價策略原來的優(yōu)勢，而且還改善了原來債券配置比例過高而無法獲取更高收益的不足。可以預(yù)見，風(fēng)險平價模型在未來FOF產(chǎn)品的發(fā)展中將有極大的用武之地。
風(fēng)險平價策略的這種優(yōu)勢，非常值得實際參與資產(chǎn)配置或者試圖構(gòu)建相關(guān)FOF組合的投資者借鑒與參考，本系列后續(xù)的文章還會從風(fēng)險平價策略和BL、MVO（均方差優(yōu)化）比較研究的角度深入分析應(yīng)用，請回到上方文章開頭，點擊“fofpower”訂閱我們。
參考文獻：
[1]海通量化團隊：2016年7月：風(fēng)險平價策略在FOF中的應(yīng)用.
