時間序列是很多小伙伴在學習FRM一級第二門課《定量分析》時過不去的坎，知識點又多又雜，而且似乎關聯(lián)度不高。今天小編就舉一個切實的案例，帶著大家領略一下基礎的時間序列建模方法與思路。

這里我們將要介紹的是一套完整的對時間序列進行分析建模的流程，也就是Box-Jenkins方法。簡單來說，該方法一共包括五個階段：

階段一：判斷時間序列是否協(xié)方差平穩(wěn)

階段二：判斷合適的模型用于分析

階段三：估計模型的未知參數(shù)

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階段四：對模型進行分析評估

階段五：使用模型進行預測

假設我們當前有一組股票指數(shù)的對數(shù)收益率數(shù)據(jù)，而我們的目的是去對該組數(shù)據(jù)進行建模、進而展開對于股票指數(shù)收益率的預測。數(shù)據(jù)圖示如下：

首先，單從數(shù)據(jù)本身的圖像上來看，收益率似乎一直圍繞著0%左右上下波動。換言之，這組數(shù)據(jù)的期望值很有可能是一個常數(shù)。同時，我們還可以看出這組數(shù)據(jù)的波動也幾乎一直處于的區(qū)間之內，意味著其方差很有可能也是一個常數(shù)。對于序列的自協(xié)方差，單靠數(shù)據(jù)本身的圖像是無法看出的，但是小編可以負責任地告訴大家（也是提前劇透一下），若一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出上圖的特征，那么基本上就是協(xié)方差平穩(wěn)的了！接下來，我們引入自相關函數(shù)（ACF）與偏自相關函數(shù)（PACF）來繼續(xù)佐證：

實證經(jīng)驗表明，非平穩(wěn)的時間序列往往具有居高不下的ACF，且一階滯后的偏自相關系數(shù)非常接近于1；與之對應的，平穩(wěn)的時間序列的ACF往往會迅速向0衰減，且一階滯后的偏自相關系數(shù)也不會非常接近于1。根據(jù)圖中的信息，我們認為這組對數(shù)收益率數(shù)據(jù)是協(xié)方差平穩(wěn)的。詳細來說，前兩階滯后的自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)都是顯著不為0的，而更高階滯后的系數(shù)也偶有顯著。

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既然數(shù)據(jù)是協(xié)方差平穩(wěn)的，那么我們就可以開始使用ARMA模型去對其進行建模了。在建模之前，我們先來看看Box-Jenkins方法提出的一個所謂Parsimony（簡約）的概念：盡管復雜的模型理論上更為先進，但實證研究表明簡約的模型往往對數(shù)據(jù)的擬合更好。因此，我們往往不會將模型的滯后階數(shù)設置得過多。在本案例中，我們選取滯后階數(shù)為兩階及兩階以內的模型進行估計：AR(1),AR(2),MA(1),MA(2),ARMA(1,1),ARMA(1,2),ARMA(2,1),以及ARMA(2,2)。舉個例子，ARMA(1,1)模型的輸出結果為：

在得到這些模型的估計結果后，我們應先使用Box-Pierce檢驗或Ljung-Box檢驗來推斷模型的誤差項是否存在自相關：如果有，那么模型并未捕捉到數(shù)據(jù)中全部的“動態(tài)”，應對其進行修正（比如加入更多的滯后項）。幸運的是，對這8個模型進行檢驗后，我們發(fā)現(xiàn)沒有一個模型的誤差項在統(tǒng)計意義上存在自相關現(xiàn)象。還是以ARMA(1,1)為例，檢驗結果如下：

接下來，對于這8個模型，我們需要選出一個“最優(yōu)”的模型來進行預測，而這就要用到我們課上學過的信息準則：AIC和SIC了（可以在模型輸出結果中看到）。這些信息準則是通過模型的樣本內估計誤差來推斷模型的預測誤差的，其取值越低，意味著模型的樣本內估計誤差越小、模型越適用于預測。在本案例中，ARMA(1,1)模型的AIC與SIC都是最小的，所以我們最終選擇ARMA(1,1)模型來對股票指數(shù)的對數(shù)收益率來進行預測。值得注意的是，AIC與SIC對于模型的選擇有時并不是一致的。實證研究表明，在選擇用于預測的模型時，SIC往往是更適用的信息準則。

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