秦同學
2025-10-31 23:37老師，B選項可以再講一下嗎？為什么加一個無關變量的話R平方會上升，adjusted R平方會下降呢？以及C選項也麻煩再解釋一下
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1個回答
黃石助教
2025-11-03 10:00
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同學你好。
R^2 = ESS/TSS = 1 - RSS/TSS。當往模型中額外增添一個新變量時，就算該變量只有一點解釋力度，模型的ESS也會有所上升、RSS也會有所下降（只不過上升/下降的幅度很小），故R^2會上升。Adjusted R^2 = 1 - (RSS/n - k - 1)/(TSS/n - 1)，其中k是解釋變量的個數(shù)。隨著新變量的引入，RSS會有所下降（這會使得Adjusted R^2上升），但k會有所上升（這會使得Adjusted R^2下降）。如果新變量解釋力度很低，那么k上升的幅度與平時無異，但RSS下降的幅度很小，使得Adjusted R^2整體來看會下降。
如果新增添的變量是無關變量的話，那么情況又會有所不同。理論上，無關變量對于Y的解釋力度為0，所以在模型中引入無關變量不會抬升ESS，故R^2不會發(fā)生變化。Adjusted R^2中由于k上升，其取值會下降。不過現(xiàn)實世界中很難找到完全無關的變量，所以增添新的變量基本都會使得R^2上升，而Adjusted R^2的變動則取決于新增添的變量的解釋力度有多少。
對于C，首先R^2不可能為負，因為ESS + RSS = TSS的存在，R^2的取值必然在(0, 1)之間。Adjusted R^2的公式中額外引入了RSS和TSS的自由度，故其取值范圍不再受到這一限制、可以為負。
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