吳同學(xué)
2020-10-08 23:13老師晚上好，我并不完全能理解為何二項(xiàng)分布的Expectation是NP。假設(shè)N=2，隨機(jī)變量x是0, 1, 2。把x=0, x=1, x=2分別代入上面給出的二項(xiàng)分布的PMF公式后，再按E[X]=0·f(0)+1·f(1)+2·f(2)去計(jì)算，得出的結(jié)果并不是2P。請(qǐng)問我的思路哪里出問題了？
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1個(gè)回答
Jenny助教
2020-10-09 15:08
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同學(xué)你好，具體證明見下圖，還是比較復(fù)雜，建議簡單理解，直接記結(jié)論。
n表示n次試驗(yàn)，p表示單次試驗(yàn)的成功概率。
E(n)表示n次試驗(yàn)的成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。
這里還需要依賴一個(gè)求數(shù)學(xué)期望的公式， 所有概率相加=1。
所有概率相加=1，即
∑k=0,n C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) = 1
對(duì)于試驗(yàn)n次的情況，有n+1種結(jié)果，0次成功系數(shù)為0，所以k=1開始即可。
∑k=0,n k * P(k)
=
∑k=1,n k * P(k)
E(n)=np這個(gè)公式是如何推導(dǎo)來的呢？
首選要知道所有的可能性，例如n次試驗(yàn)，可能成功0次，1次，2次，。。。n次。即有n+1種可能。
假設(shè)做6次試驗(yàn)，0表示成功，1表是失敗。
可能性如下：
000000
100000
010000
001000
000100
000010
000001
......
成功0次的可能性有1種，成功1次的可能性有6種，這是n選k的問題。
n次試驗(yàn)，成功k次的可能性有多少種=C(n,k)=n! / (k!(n-k)!)
n次試驗(yàn)，成功k次的概率= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
所有概率相加=1，即
∑k=0,n C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) = 1
數(shù)學(xué)期望E(n)，表示做n次試驗(yàn)，最可能成功多少次：
將成功次數(shù)乘以對(duì)應(yīng)的概率，求相加即可得到它的數(shù)學(xué)期望。
∑k=1,n k * C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n k * ( n! / (k!(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n k * ( n! / (k(k-1)!(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n ( n! / ((k-1)!(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n ( n(n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)) * p * p^(k-1) * (1-p)^(n-k)
=
np∑k=1,n ( (n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k)
-
追答
對(duì)n-1,k-1進(jìn)行換元：
a=k-1
b=n-1
n-k = (a+1) - (b+1) = b-a
求和的下標(biāo)k=1怎么換呢？k=1時(shí)，根據(jù)a=k-1，得出當(dāng)k=1時(shí)a=0。
求和式中，當(dāng)k=n時(shí)，a = k-1 = n-1
而換元中b=n-1，所以n-1=b
換元后，
=
np∑a=0,b ( (b)! / ((a)!(b-a)!)) * p^(a) * (1-p)^(b-a)
注意這個(gè)求和表達(dá)式 ∑a=0,b ( (b)! / ((a)!(b-a)!)) * p^(a) * (1-p)^(b-a)
其實(shí)就是二項(xiàng)式的所有可能的概率之和，必然等于1.
∑k=0,n C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) = 1
因此最后推導(dǎo)出來
二項(xiàng)分布的期望值 E(n)=np*1=np -
追問
非常感謝楊老師的細(xì)致解答。辛苦了????
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追答
不客氣噠， 如果有任何疑問，隨時(shí)歡迎追問。
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