李同學(xué)
2020-10-15 11:42老師辛苦~ 問(wèn)：有一個(gè)說(shuō)法，就是季節(jié)性啞變量，如果方程中，春夏秋冬4個(gè)啞變量都引入，但是春夏秋冬前面的系數(shù)都相同，那么就可以不要啞變量、直接加入一個(gè)常數(shù)截距項(xiàng)，我不理解，麻煩老師解釋？
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1個(gè)回答
Jenny助教
2020-10-15 14:38
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同學(xué)你好，完整的說(shuō)法是如果回歸模型中含有截距項(xiàng)，若一個(gè)定型變量有m個(gè)類別，則引入m-1個(gè)虛擬變量。如果回歸模型不含截距項(xiàng)，則m種特征可以引入m個(gè)虛擬變量。
如果既包含m個(gè)虛擬變量，又有截距項(xiàng)就會(huì)產(chǎn)生虛擬變量陷阱。
這部分的解釋會(huì)有些超綱，會(huì)涉及到矩陣和線性代數(shù)方面的內(nèi)容，所以這部分會(huì)簡(jiǎn)單略過(guò)不展開(kāi)。大概了解一下就可以了。
主要是記結(jié)論，即如果有截距項(xiàng)的情況下，只能引入m-1個(gè)虛擬變量，否則會(huì)導(dǎo)致虛擬變量陷阱。
假設(shè)y是因變量，自變量有C1、C2、C3。在有截距項(xiàng)b時(shí)，回歸模型為：
y=a1×C1+a2×C2+a3×C3+b
按上圖中的虛擬變量設(shè)置，用OLS（ordinary least squares）求解方程的時(shí)候，模型解為
[a1,a2,a3,b]’=invert((X’X))X’Y，
當(dāng)有截距項(xiàng)b的并用時(shí)候，用上述公式求解模型就會(huì)遇到“虛擬變量陷阱”，也就是矩陣X’X是不可逆的（因?yàn)榫仃嚥⒉皇菨M秩的）。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是完全多重共線性（即其中一個(gè)自變量可以完全由另外兩個(gè)自變量決定）導(dǎo)致OLS算法中矩陣不可逆。從而無(wú)法計(jì)算回歸模型的系數(shù)（“虛擬變量陷阱”是和回歸模型的求解算法有關(guān)的，上述的OLS的閉式解會(huì)報(bào)錯(cuò)）。如果去掉截距項(xiàng)，這個(gè)矩陣是滿秩的，也就是各列向量并不是線性相關(guān)。故此時(shí)，沒(méi)有共線性的問(wèn)題，那么就可以計(jì)算出回歸模型的系數(shù)。
理論上，去掉截距的話，就可以引入m個(gè)虛擬變量，但是在建立模型的時(shí)候，通常是建立含截距項(xiàng)的模型。雖然不含截距項(xiàng)的模型引進(jìn)和類別相同數(shù)量的虛擬變量不存在完全共線性的問(wèn)題，但要檢驗(yàn)截距項(xiàng)的差值會(huì)更加困難，且不含截距項(xiàng)的回歸在計(jì)算r方上沒(méi)有一個(gè)一致的方法。所以一般都是采用含有截距項(xiàng)的模型進(jìn)行研究。
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追問(wèn)
不不不，老師，你看圖。
如圖，這道題的C選項(xiàng)，答案說(shuō)C是正確的，但是我不理解~ -
追答
同學(xué)你好，如果四個(gè)虛擬變量的系數(shù)都是一致的，那么其實(shí)有有沒(méi)有季節(jié)因素這個(gè)變量就不重要了，因?yàn)椴还苁悄膫€(gè)季節(jié)對(duì)于y的貢獻(xiàn)都是一樣的，都是gamma（不管是gamma幾，反正都是相等的），可以簡(jiǎn)單認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。直接就把它放在截距項(xiàng)里就好了。以上答疑僅供參考，其他機(jī)構(gòu)的出題建議咨詢?cè)摍C(jī)構(gòu)的老師。
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