是同學(xué)
2021-06-26 22:04老師，想問下獨(dú)立同分布放在多元隨機(jī)變量這一節(jié)講，但我不太明白它和多元隨機(jī)變量的關(guān)系是什么？
所屬：FRM Part I > Quantitative Analysis 視頻位置 相關(guān)試題
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2個回答
Jenny助教
2021-06-29 11:37
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同學(xué)你好，多元隨機(jī)變量簡單可以理解為我們從單一變量的討論升級到多個變量之間的討論，這個時候免不了就要討論不同變量之間是否具有聯(lián)系，而獨(dú)立同分布是一種比較理想的多變量之間的關(guān)系，如果變量序列或者其他隨機(jī)變量有相同的概率分布，并且互相獨(dú)立，那么這些隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布。簡單來說，就是這些變量是相互獨(dú)立的，對于我們分析多變量問題能夠起到一個簡化作用，也是很多多變量模型的假設(shè)。
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追問
那從這個意義上來說，chi-square分布也可以算一個多元隨機(jī)變量么？ 由n個獨(dú)立同分布的變量Zi^2組成的多元隨機(jī)變量？
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追答
不是哦，它還是單一變量的概率分布，卡方分布的定義是：若n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ?，ξ?，...,ξn ，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和構(gòu)成【一新的隨機(jī)變量】，其分布規(guī)律稱為卡方分布。所以卡方分布是關(guān)于這個新的隨機(jī)變量的概率分布，也就是分布的橫坐標(biāo)只是這個新的隨機(jī)變量。否則就沒有辦法在二維圖像上展示了呀，舉個例子，比如是關(guān)于兩個隨機(jī)變量的概率分布，那么它的分布就應(yīng)該是三維的，也就是橫坐標(biāo)應(yīng)該要有兩個，比如這個樣子。那么它的pdf函數(shù)就應(yīng)該是三維立體的，而不是只存在二維表面。
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追問
明白了，是因為chi-square 分布把自變量變成了個數(shù)n，所以它不是多元，如果同樣的表達(dá)式，自變量是Z1-Zn，那么就是n元隨機(jī)變量了，對么？
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追答
不是變成個數(shù)n哦，是把幾個變量組成一個新變量，舉個例子，假設(shè)有變量a，b，c， d，然后用這四個變量組成新的變量x，比如x=a+b+c+d，然后建立一個關(guān)于x的概率分布，這個分布是一個單變量的分布，因為它只是研究x這個變量在不同取值是對應(yīng)的概率密度，至于x是怎么組成的，他并不關(guān)心。
類似的，如果你定義X=z1-z2，那么關(guān)于x的概率分布同樣是一個單變量的分布。
我前面舉的二維的多元分布是什么意思呢，假設(shè)現(xiàn)在有兩個變量X1和X2， 這里的聯(lián)合概率分布表示的是，當(dāng)我X1取某個值，X2取某個值的時候，這二者同時滿足時對應(yīng)的概率分布。所以橫坐標(biāo)會有兩個坐標(biāo)軸。 -
追問
老師我覺得X=Z1-Z2也是二元隨機(jī)變量。比如我這次追問里附的圖，g(X,Y)是一個二元隨機(jī)變量吧？ 這里的g(X,Y)=X^Y，那g(X,Y)的形式可以有很多種，也可以是g(X,Y)=X-Y啊，所以g(Z1,Z2)=Z1-Z2我覺得也是一個二元隨機(jī)變量。
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追答
前面討論的多元還是單元都是針對概率分布圖的。附圖中這個概率矩陣是二元隨機(jī)變量的概率矩陣，這個是因為圖中給的概率是同時考慮x和y的，比如15%表示的是x等于1，以及y=3時的聯(lián)合概率，也就是x和y的聯(lián)合概率分布用三個坐標(biāo)才能確定。而你說的g（x，y）是x和y經(jīng)過變換之后的一個新的變量，如果把它和對應(yīng)概率都反映在坐標(biāo)系里面，那么只需要二維坐標(biāo)即可。橫坐標(biāo)是g（x，y）的取值： 1^3, 1^4, 2^3， 2^4， 縱坐標(biāo)是每個取值對應(yīng)的概率，0.15, 0.60, 0.1, 0.15，也就是g（x，y）的概率分布用兩個坐標(biāo)就可以確認(rèn)了，這并不能算作是二元隨機(jī)變量.
或者說x和y是二元隨機(jī)變量，但是g（x，y）你可以理解成一個新的變量g，這個只能算單元。 -
追問
好的老師，我明白了。 那f(X,Y)是一個二元隨機(jī)變量的概率分布，這個是對的哈？
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追答
嗯嗯，這個是沒問題的，更準(zhǔn)確一點，f（x，y）是一個二元隨機(jī)變量的概率函數(shù)，畢竟f表示函數(shù)，分布是函數(shù)在坐標(biāo)上的圖像表現(xiàn)形式。
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追問
好的老師
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Adam助教
2021-07-01 15:30該回答已被題主采納
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