是同學(xué)
2021-06-27 15:00藍(lán)框里面老師寫的內(nèi)容，“無(wú)限抽樣的情況下才能得到樣本均值的期望等于總體均值”，前面不是已經(jīng)證明過(guò)了，在Xi服從i.i.d.的情況下，樣本均值的期望等于總體均值，不需要無(wú)限抽樣啊，為什么老師這么說(shuō)？
所屬：FRM Part I > Quantitative Analysis 視頻位置 相關(guān)試題
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1個(gè)回答
Jenny助教
2021-06-29 13:51
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同學(xué)你好，請(qǐng)問(wèn)你說(shuō)的已經(jīng)證明過(guò)指的是哪里？可否附上對(duì)應(yīng)的截圖或者視頻位置。
如果你說(shuō)的是這個(gè)地方，附圖表示的是Xi這個(gè)隨機(jī)變量的均值E（Xi）用μ表示，方差用sigma方表示。
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追問(wèn)
老師，我指的是這里，證明樣本均值是無(wú)偏的時(shí)候，證明了樣本均值的期望等于總體均值，而且并不需要無(wú)限次抽樣這個(gè)條件，而老師說(shuō)無(wú)限次抽樣的情況下才能得到樣本均值的期望等于總體均值。
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追答
不是哦，這里說(shuō)的是無(wú)偏性的含義，不是證明。它的意思是，如果一個(gè)參數(shù)是無(wú)偏的，那么它的估計(jì)值就應(yīng)該等于總體真實(shí)值，比如，假設(shè)樣本均值等于總體均值的真實(shí)值，那么我們就說(shuō)這個(gè)樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)，或者說(shuō)這個(gè)樣本均值具有無(wú)偏性。這里是這個(gè)意思。
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追問(wèn)
不是的老師，這里是證明，如果公式只是想說(shuō)明無(wú)偏性的含義，那么就不需要中間那個(gè)求和的式子了，直接寫E(u^cap)=u就可以了，圖中這個(gè)式子是證明，而且證明過(guò)程用到了i.i.d.的性質(zhì)。
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追問(wèn)
講義上就是說(shuō)，樣本均值是無(wú)偏的，因?yàn)闃颖揪档钠谕扔诳傮w均值，而不是假設(shè)樣本均值是無(wú)偏的。
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追問(wèn)
而且老師您的追答里說(shuō)“如果一個(gè)參數(shù)是無(wú)偏的，那么它的估計(jì)值就應(yīng)該等于總體真實(shí)值，比如，假設(shè)樣本均值等于總體均值的真實(shí)值。。?！边@個(gè)說(shuō)法不對(duì)吧，參數(shù)都是總體的參數(shù)-population parameter，沒(méi)辦法說(shuō)一個(gè)參數(shù)是無(wú)偏的，無(wú)偏性是估計(jì)量的性質(zhì)。而且“那么它的估計(jì)值就應(yīng)該等于總體真實(shí)值”這個(gè)說(shuō)法也不對(duì)，應(yīng)該是估計(jì)值的期望等于總體真實(shí)值。
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追答
用參數(shù)這個(gè)詞確實(shí)不對(duì)，我的原意是想說(shuō)明用樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)量來(lái)估計(jì)總體的真實(shí)參數(shù)。更正一下，也就是如果對(duì)某個(gè)統(tǒng)計(jì)量，比如均值或者樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，樣本的均值估計(jì)量或者標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量等于總體真實(shí)的均值或者標(biāo)準(zhǔn)差，那么就說(shuō)這個(gè)估計(jì)量是具有無(wú)偏性的。
關(guān)于你說(shuō)的這個(gè)式子，它確實(shí)是在假設(shè)Xi的均值是μ的前提下進(jìn)行的，你可以往前面翻兩頁(yè)，”Assumed the random variables Xi are i.i.d. and E[Xi ]=?? and V[Xi ]=??^2. “ 所以把E(Xi)加總相當(dāng)于nμ，所以最后的化簡(jiǎn)結(jié)果才是μ。
那么如果沒(méi)有這個(gè)假設(shè)呢？如果我們用樣本估計(jì)總體參數(shù)，比如均值，應(yīng)該怎么做呢？要進(jìn)行抽樣，比如X1，X2， X3， X4，...， 都是總體X的樣本，而x1，x2， x3，...，就是相應(yīng)的樣本值，而E（x1），E（x2）,...,就是這些樣本的均值，再把這個(gè)均值加總求平均得到E[μ cap], 那么怎么樣才能使得E[μ cap]等于總體真實(shí)的均值呢？只抽樣一次兩次夠嗎？在沒(méi)有假設(shè)樣本均值等于μ的提前下，或者換句話說(shuō)某個(gè)樣本可能不具有代表性，那么一兩次顯然是不夠的，尤其是總體數(shù)據(jù)比較龐大的話，一兩個(gè)樣本肯定是不具有代表性的，所以抽樣次數(shù)n越多，才能越好地覆蓋到總體的每個(gè)樣本，得到的E[μ cap]才會(huì)越接近總體的真實(shí)值。這里其實(shí)也正是說(shuō)明了為什么抽樣次數(shù)n要趨于無(wú)窮大。 -
追問(wèn)
老師，怎么會(huì)沒(méi)有這個(gè)假設(shè)：“Assumed the random variables Xi are i.i.d. and E[Xi ]=?? and V[Xi ]=??^2”呢？ 這不就是抽樣的前提么？ 這句話就是在說(shuō)被抽樣的總體的均值是??，每次抽樣是獨(dú)立的啊。沒(méi)有這個(gè)前提難道每次抽樣不獨(dú)立？ 被抽樣的總體均值不是??？
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追問(wèn)
這個(gè)式子就是通過(guò)圖中iid的性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái)的，之前高老師也講過(guò)的。而且樣本均值的無(wú)偏性不需要無(wú)限次抽樣這個(gè)前提，因?yàn)闊o(wú)偏性的定義是： 一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的期望等于總體的參數(shù)值。期望本身意思就已經(jīng)包含了是對(duì)所有可能的情況進(jìn)行平均，不需要再加無(wú)限次抽樣這個(gè)前提。老師你追答里說(shuō)的是，對(duì)多個(gè)樣本的樣本均值算算術(shù)平均數(shù)，這個(gè)算術(shù)平均數(shù)等于總體均值，那是需要有無(wú)限個(gè)樣本。但是期望不代表算術(shù)平均數(shù)。
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追問(wèn)
剛忘記附圖了
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追問(wèn)
老師我又想到了無(wú)偏性不需要無(wú)限次抽樣這個(gè)前提的輔證，就是講義里說(shuō)如果估計(jì)量是BLUE的，那么可以通過(guò)無(wú)限次抽樣，對(duì)無(wú)限個(gè)樣本的均值算算術(shù)平均數(shù)，那么這個(gè)算術(shù)平均數(shù)就是估計(jì)量的期望，就等于總體參數(shù)。所以無(wú)偏性本身是不需要無(wú)限次抽樣這個(gè)前提的，而且你如果想接近總體參數(shù)，就要通過(guò)無(wú)限次抽樣然后算平均數(shù)的方式來(lái)得到期望值，而無(wú)偏估計(jì)量的期望值就等于總體參數(shù)，所以算出期望值就得到總體參數(shù)了。老師您再想想是這樣不？
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追問(wèn)
所以是因?yàn)橐闫谕挡艧o(wú)限次抽樣，而不是因?yàn)闊o(wú)偏性有無(wú)限次抽樣這個(gè)前提。
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追問(wèn)
而且老師您上面的追答里說(shuō)“而E（x1），E（x2）,...,就是這些樣本的均值，再把這個(gè)均值加總求平均得到E[μ cap]”，那如果E（x1）是樣本的均值，V（x1）、V（x2）就是這些樣本的方差？ 那我第一次追答里附的圖中下面V[μ cap]那個(gè)式子，把V（x1），V（x2）加合除以n^2是在干嘛呢？
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追答
同學(xué)你好，不是所有的樣本均值都等于總體參數(shù)，只有樣本具有代表性才可以，這也是為什么前面一頁(yè)講義里說(shuō)了E[Xi]=μ。如果樣本足夠有代表性，那么不無(wú)限抽樣也是可以的，本身無(wú)限抽樣只是為了使得樣本能夠充分代表總體。
方差的推導(dǎo)見附圖。
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