飄同學(xué)
2022-04-09 18:54老師，廣義極值分布是不是近似于正態(tài)分布，而廣義帕累托分布因?yàn)闃O值偏多，對(duì)應(yīng)是肥尾？
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1個(gè)回答
Yvonne助教
2022-04-11 16:04
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同學(xué)你好，不是的，廣義極值理論建模的是樣本數(shù)據(jù)中極值的分布。假設(shè)現(xiàn)在從一個(gè)隨機(jī)總體中抽取了樣本量為n 的樣本數(shù)據(jù)，把樣本當(dāng)中的極值定義為Mn，如果要對(duì)抽取出的極值去建模的話，用的就是廣義極值理論。當(dāng)抽取的樣本量非常大的時(shí)候，市場(chǎng)上出現(xiàn)的極端大的損失值服從分布如下圖所示。當(dāng)其中的參數(shù)ξ> 0 時(shí)，是Fréchet 分布，對(duì)應(yīng)金融學(xué)里的肥尾分布，類似于t 分布或者帕累托分布。這類分布是金融學(xué)用到的最多的一類極值分布。當(dāng)ξ = 0 時(shí)，是Gumbel 分布，尾部是指數(shù)分布的尾部，比如正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布。當(dāng)ξ < 0 時(shí)，是Weibull 分布，是一個(gè)薄尾分布。
而在POT理論中當(dāng)μ設(shè)置的較高的時(shí)候，超過閾值的損失數(shù)據(jù)會(huì)無限接近于廣義帕累托分布。
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追問
帕累托分布和極值分布都和正態(tài)分布沒有關(guān)系是嗎？三者是平行概念？
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追答
不是，我上面說了，要根據(jù)具體的參數(shù)進(jìn)行判斷。當(dāng)其中的參數(shù)ξ> 0 時(shí)，是Fréchet 分布，對(duì)應(yīng)金融學(xué)里的肥尾分布，類似于t 分布或者帕累托分布。這類分布是金融學(xué)用到的最多的一類極值分布。當(dāng)ξ = 0 時(shí)，是Gumbel 分布，尾部是指數(shù)分布的尾部，比如正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布。
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追問
老師，弱弱問一個(gè)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題，指數(shù)分布和正太分布、對(duì)數(shù)正太分布間是什么關(guān)系？log的分布是對(duì)數(shù)分布吧
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追答
假設(shè)隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)分布，參數(shù)為n(自然數(shù))，如果P{X=m}=log(1+1/m),(m=1,2,...,n-1)。
正態(tài)分布曲線一種概率分布。正態(tài)分布是具有兩個(gè)參數(shù)μ和σ^2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，第一參數(shù)μ是遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)σ2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(μ，σ^2)。公式如下圖圖1所示
對(duì)數(shù)正態(tài)分布（logarithmic normal distribution）是指一個(gè)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則該隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。比如如果隨機(jī)變量X 的自然對(duì)數(shù)ln（X）服從正態(tài)分布，則X 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。公式如下圖圖2所示。
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