歡同學(xué)
2023-09-26 15:47麻煩老師再講一下杰森不等式在利率期限結(jié)構(gòu)上，位于曲線上的那一點為什么是1/E(1+R)?
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1個回答
黃石助教
2023-09-26 17:02
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同學(xué)你好。因為曲線上那一點對應(yīng)的是橫軸r = 8%時縱軸債券價格的取值。這里寫成1/(1 + E[r])會更好理解，因為這里8%就是利率的期望，(6% + 10%)/2。債券定價公式的凸性性質(zhì)使得1/(1 + E[r]) < E[1/(1 + r)]，也就是低于r = 6%和10%時債券價格的平均數(shù)（體現(xiàn)在圖上就是兩個價格點畫直線、直線的中點對應(yīng)的價格）。
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追問
接這個杰森不等式右邊我老是想不明白，昨天我可以堪稱是面值1塊的債券在兩種收益率情況下的均值，那右邊這個對應(yīng)的怎么理解比較好呢？謝謝老師
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追答
同學(xué)你好。左邊是按不同利率求債券價格、再求債券價格的期望；右邊則是先求出利率的期望，再使用利率的期望值去求債券的價格。
這邊稍微展開給同學(xué)講一下，理一下邏輯。這部分原版書實際上是在探討三類影響利率期限結(jié)構(gòu)的因素：對未來利率的期望、凸性效應(yīng)、以及風(fēng)險溢價。
在探討對于未來利率期望的時候，為了完全孤立出期望對于期限結(jié)構(gòu)的影響，我們假設(shè)投資者的期望是不帶有任何不確定性的（比如我若期望未來利率 = 10%，那么我就是認為未來利率只會取10%，取到的概率是100%，而不是像二叉樹中這樣，未來利率有不同取值的可能性，經(jīng)概率加權(quán)后等于期望）。此時，若市場上所有投資者都對未來利率有一致的、不帶有任何不確定性的期望，那么當前債券價格必然應(yīng)通過這個期望利率折現(xiàn)，否則不會有投資者去投資的（例：當前一年期利率 = 10%，若市場上所有投資者都堅信一年后的一年期利率 = 12%，那么當前一個兩年期的債券的yield（即兩年期spot rate）取值必然大于10%，否則沒有人會去投資。這也就是為什么若投資者期望利率上漲/下跌，就會造成利率的期限結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)上斜/下斜）。
討論完利率的期望后，我們轉(zhuǎn)而開始考慮允許利率期望帶有不確定性，也就是說比如雖然我期望一年后的一年期利率 = 10%，但我認為利率有50%可能性取到8%，50%可能性取到12%。此時，如果不考慮不確定性，只根據(jù)期望來看，那么利率期限結(jié)構(gòu)應(yīng)該是平的。但此時由于利率的不確定性，我們需要使用利率二叉樹對債券進行定價，按不同利率求債券價格、再求債券價格的期望。由于債券的定價公式具有凸性的性質(zhì)，根據(jù)Jensen's inequality可知，此時求出的債券價格會大于直接按照期望利率求解的債券價格（也就是討論利率期望對期限結(jié)構(gòu)的影響時舉的例子）。由于在數(shù)學(xué)上，該情況直接由債券定價公式的凸性性質(zhì)導(dǎo)致的，所以我們稱其為凸性效應(yīng)。本質(zhì)上，凸性效應(yīng)來自于利率的不確定性。若凸性為正，則債券存在漲多跌少的優(yōu)勢，這部分優(yōu)勢是有價值的（但這部分優(yōu)勢只有當利率像二叉樹中一樣存在不確定性/變動才能體現(xiàn)），而這價值就表現(xiàn)在了實際求解的債券價格相較于不考慮利率不確定性的債券價格更高（我們需要花更多的錢來買入該資產(chǎn)）。而價格更高對應(yīng)著spot rate更低，所以convexity effect會將利率期限結(jié)構(gòu)向下拽。
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