趙同學(xué)
2023-10-04 18:48假設(shè)檢驗的時候，np和根號下np(1-p)這里麻煩老師幫忙回憶一下
所屬：FRM Part II > Market Risk Measurement and Management 視頻位置 相關(guān)試題
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1個回答
黃石助教
2023-10-07 14:54
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同學(xué)你好。
首先需要回顧的是伯努利變量。伯努利變量是一種只能取 0 或 1 的隨機變量，意味著只有兩種可能且結(jié)果相互對立（比如拋一次硬幣，硬幣正面朝上為1，硬幣背面朝上為0。在VaR的回測中則是對于某一天的觀測值，損失超過VaR值為1，不超過VaR值為0）。
接下來需要理解的是伯努利分布，即只有兩個可能的取值結(jié)果 (0 或 1) 的隨機變量 X（伯努利隨機變量）所服從的分布。伯努利分布只有一個參數(shù)，即 X 取到 1 的概率，記作 p。在上述拋硬幣試驗中，若假設(shè)該試驗是公平的，那么 p = 0.5，即正面與背面朝上的概率相等。伯努利隨機變量的期望值 E(X) = p*1 + (1 - p)*0 = p，即可能取到的值乘上對應(yīng)的概率然后加總。其方差為 Var(X) = E{[X - E(X)]^2}= E(X^2) - [E(X)]^2，帶入可得 Var(X) = [p*(1^2) + (1 - p)*0^2] - p^2 = p(1 - p)。
二項隨機變量的定義是基于伯努利隨機變量的。如果將伯努利變量取到 0 或 1 看作一次試驗的話，那么二項隨機變量就是進(jìn)行 n 次獨立的伯努利試驗后、伯努利變量取到 1 的次數(shù)。例如拋 n 次硬幣 (假設(shè)是公平的)，硬幣正面朝上的“次數(shù)“就是二項隨機變量，0/1/2/…/n 次正面朝上發(fā)生的概率各不相同。二項分布即二項隨機變量服從的分布。在我們這里的例子中，一次伯努利試驗就是某一天損失是否超過VaR，而我們有n天的數(shù)據(jù)樣本。超過VaR一次、超過VaR兩次、...，即這里的二項變量。
對于二項分布的均值和方差，可以簡單理解：既然二項分布是做了n次伯努利試驗，而一次伯努利試驗 E(X) = p，Var(X) = p(1 - p)，那么就在各自的前面乘上n即可。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)不需要掌握。這里還需要知道的一點是二項分布在滿足一定的條件下會趨于正態(tài)分布，所以檢驗統(tǒng)計量是假設(shè)使用正態(tài)分布的。
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