趙同學(xué)
2023-10-05 13:17請(qǐng)問(wèn)老師，利率期限結(jié)構(gòu)都有哪些分類？10個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)模型都分別描述了哪一種？都是短期利率期限結(jié)構(gòu)么？是平行移動(dòng)還是非平行移動(dòng)，是flat么？加入drift項(xiàng)之后會(huì)有什么影響
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黃石助教
2023-10-07 15:58
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同學(xué)你好。利率期限結(jié)構(gòu)就是將不同期限的spot rate（或者forward rate，par rate，都可以，我們主要考慮spot rate即可）畫在圖像上，其橫軸為期限，縱軸為利率水平。利率期限結(jié)構(gòu)無(wú)非就是向上傾斜、水平、向下傾斜三種主要形態(tài)。
同學(xué)想問(wèn)的是短期利率模型隱含的利率期限結(jié)構(gòu)是嗎？首先這里的思路是，我們可以通過(guò)短期利率模型構(gòu)建利率二叉樹，進(jìn)而反推出不同期限的零息債券的價(jià)格、得到不同期限的即期利率。這樣就得到了利率的期限結(jié)構(gòu)。在細(xì)分之前，還要說(shuō)明的一點(diǎn)是無(wú)套利模型是匹配當(dāng)前市場(chǎng)上觀測(cè)到的利率期限結(jié)構(gòu)的；存在均值復(fù)歸的模型都是非平行移動(dòng)，反之則平行移動(dòng)（這里的平行/非平行移動(dòng)指的是短期利率上升一定的量，整個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)是上升相同的量（平行移動(dòng)），還是短期/長(zhǎng)期利率上升的量不同（非平行移動(dòng)））。
Model 1：反推出來(lái)的利率期限結(jié)構(gòu)是向下傾斜的；平行移動(dòng)。
Model 2：反推出來(lái)的利率期限結(jié)構(gòu)更為靈活，在原版書中根據(jù)其參數(shù)得到的是向上傾斜的（參數(shù)不同，利率期限結(jié)構(gòu)的形狀也會(huì)不同，也有可能是向下傾斜，這個(gè)不用太糾結(jié)）；平行移動(dòng)。
Ho-Lee Model：匹配當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)；平行移動(dòng)。
Vasicek Model：反推出來(lái)的利率期限結(jié)構(gòu)更為靈活，在原版書中根據(jù)其參數(shù)得到的是向上傾斜的；非平行移動(dòng)。
Model 3：匹配當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)；平行移動(dòng)。
Cox-Ingersoll-Ross Model：反推出來(lái)的利率期限結(jié)構(gòu)更為靈活，原版書中未給出具體參數(shù)與圖像；非平行移動(dòng)。
Courtadon Model：反推出來(lái)的利率期限結(jié)構(gòu)更為靈活，原版書中未給出具體參數(shù)與圖像；非平行移動(dòng)。
Salomon Brothers Model：匹配當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)；平行移動(dòng)。
Black-Karasinski Model：匹配當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)；非平行移動(dòng)。
可以看一下下圖中不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的CIR模型與Vasicek模型的利率期限結(jié)構(gòu)形態(tài)（這邊a = mean reversion rate，b = long-term rate）。
風(fēng)險(xiǎn)中性過(guò)程中的漂移項(xiàng)是short-rate expectation與risk premium的結(jié)合。若投資者期望short rate未來(lái)上漲/下跌則利率期限結(jié)構(gòu)向上/向下傾斜；risk premium會(huì)把利率期限結(jié)構(gòu)向上拉
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追問(wèn)
還想請(qǐng)教老師，這里的凸性是什么意思：Model 1 is relatively flat for early terms and then downward sloping. As the model has no drift, rates decline with term solely because of convexity.
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追答
同學(xué)你好。這里聯(lián)系的是上一章學(xué)習(xí)的影響利率期限結(jié)構(gòu)形狀的三大因素：未來(lái)瞬時(shí)利率的期望，凸性效應(yīng)以及風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。其中，凸性效應(yīng)的存在使得利率期限結(jié)構(gòu)會(huì)向下墜（即這里對(duì)Model 1 term structure的描述）。在瞬時(shí)利率建模時(shí)，漂移項(xiàng)包含了期望與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，波動(dòng)項(xiàng)包含了波動(dòng)率，而波動(dòng)率與凸性掛鉤。Model 1中只有波動(dòng)項(xiàng)，所以對(duì)于其隱含的利率期限結(jié)構(gòu)，唯一的影響因素就是凸性。
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追問(wèn)
謝謝老師，我還想問(wèn)一下均值復(fù)歸的模型，趨勢(shì)項(xiàng)也是變動(dòng)的，為什么是均衡模型呢，謝謝？
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追問(wèn)
老師好，您提到的這個(gè)內(nèi)容：影響利率期限結(jié)構(gòu)形狀的三大因素：未來(lái)瞬時(shí)利率的期望，凸性效應(yīng)以及風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。這個(gè)內(nèi)容方便發(fā)一下，我學(xué)習(xí)一下
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追答
同學(xué)你好。對(duì)于無(wú)套利模型，其趨勢(shì)項(xiàng)每期都會(huì)發(fā)生變動(dòng)，這種變動(dòng)的實(shí)質(zhì)是在于去匹配當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，我們給定了當(dāng)前不同期限的零息債券的價(jià)格與spot rate，我們需要去調(diào)整模型中的趨勢(shì)項(xiàng)，使得模型定出來(lái)的債券價(jià)格等于當(dāng)前市場(chǎng)上的債券價(jià)格、得到的spot rates等于當(dāng)前市場(chǎng)上的spot rates。對(duì)于均值復(fù)歸模型，其趨勢(shì)項(xiàng)描述的是底層的經(jīng)濟(jì)假設(shè)，即利率呈現(xiàn)均值復(fù)歸。其中theta（長(zhǎng)期均值）以及k（均值復(fù)歸參數(shù)）都是恒定不變的。這里唯一會(huì)變的r取決于不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)根據(jù)模型得到的r。因此，盡管均值復(fù)歸模型的趨勢(shì)項(xiàng)不同時(shí)點(diǎn)取值不同，但這種變化相當(dāng)于是模型內(nèi)部設(shè)定導(dǎo)致的自然的變化（因?yàn)閞每期不一樣），并不能讓我們借以匹配當(dāng)前市場(chǎng)上零息債券的價(jià)格與利率期限結(jié)構(gòu)，而這又恰恰是無(wú)套利模型的核心所在。想要使均值復(fù)歸模型變成無(wú)套利模型，theta和k至少要有一個(gè)是時(shí)變的（即theta_t和k_t），比如最后學(xué)的Black-Karasinski Model。
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追答
同學(xué)你好。對(duì)于影響利率期限結(jié)構(gòu)形狀的三大因素：未來(lái)瞬時(shí)利率的期望，凸性效應(yīng)以及風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，建議同學(xué)可以看一下原版書上第12章。由于這里最多只能上傳三張圖片，所以無(wú)法上傳全部?jī)?nèi)容，這邊稍微給同學(xué)講一下，具體內(nèi)容還是建議看原版書哈：
在探討對(duì)于未來(lái)利率期望的時(shí)候，為了完全孤立出期望對(duì)于期限結(jié)構(gòu)的影響，我們假設(shè)投資者的期望是不帶有任何不確定性的（比如我若期望未來(lái)利率 = 10%，那么我就是認(rèn)為未來(lái)利率只會(huì)取10%，取到的概率是100%，而不是像二叉樹中這樣，未來(lái)利率有不同取值的可能性，經(jīng)概率加權(quán)后等于期望）。此時(shí)，若市場(chǎng)上所有投資者都對(duì)未來(lái)利率有一致的、不帶有任何不確定性的期望，那么當(dāng)前債券價(jià)格必然應(yīng)通過(guò)這個(gè)期望利率折現(xiàn)，否則不會(huì)有投資者去投資的（例：當(dāng)前一年期利率 = 10%，若市場(chǎng)上所有投資者都堅(jiān)信一年后的一年期利率 = 12%，那么當(dāng)前一個(gè)兩年期的債券的yield（即兩年期spot rate）取值必然大于10%，否則沒(méi)有人會(huì)去投資。這也就是為什么若投資者期望利率上漲/下跌，就會(huì)造成利率的期限結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)上斜/下斜）。
討論完利率的期望后，我們轉(zhuǎn)而開始考慮允許利率期望帶有不確定性，也就是說(shuō)比如雖然我期望一年后的一年期利率 = 10%，但我認(rèn)為利率有50%可能性取到8%，50%可能性取到12%。此時(shí)，如果不考慮不確定性，只根據(jù)期望來(lái)看，那么利率期限結(jié)構(gòu)應(yīng)該是平的。但此時(shí)由于利率的不確定性，我們需要使用利率二叉樹對(duì)債券進(jìn)行定價(jià)，按不同利率求債券價(jià)格、再求債券價(jià)格的期望。由于債券的定價(jià)公式具有凸性的性質(zhì)，根據(jù)Jensen's inequality可知，此時(shí)求出的債券價(jià)格會(huì)大于直接按照期望利率求解的債券價(jià)格（也就是討論利率期望對(duì)期限結(jié)構(gòu)的影響時(shí)舉的例子）。由于在數(shù)學(xué)上，該情況直接由債券定價(jià)公式的凸性性質(zhì)導(dǎo)致的，所以我們稱其為凸性效應(yīng)。本質(zhì)上，凸性效應(yīng)來(lái)自于利率的不確定性。若凸性為正，則債券存在漲多跌少的優(yōu)勢(shì)，這部分優(yōu)勢(shì)是有價(jià)值的（但這部分優(yōu)勢(shì)只有當(dāng)利率像二叉樹中一樣存在不確定性/變動(dòng)才能體現(xiàn)），而這價(jià)值就表現(xiàn)在了實(shí)際求解的債券價(jià)格相較于不考慮利率不確定性的債券價(jià)格更高（我們需要花更多的錢來(lái)買入該資產(chǎn)）。而價(jià)格更高對(duì)應(yīng)著spot rate更低，所以convexity effect會(huì)將利率期限結(jié)構(gòu)向下拽。
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