左同學(xué)
2019-01-02 23:08AR這章有沒(méi)有總結(jié)？感覺(jué)建模過(guò)程和之前的多元回歸MR有些地方會(huì)混淆。有沒(méi)有對(duì)比的總結(jié)，題目應(yīng)用也比較少，或者有木有其他老師的視頻？
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1個(gè)回答
Chris Lan助教
2019-01-03 09:53
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同學(xué)你好，幫你進(jìn)行了總結(jié)。
Autoregressive Models (AR Model)：自回歸模型
AR(p) model，其中P代表離現(xiàn)在最遠(yuǎn)的滯后項(xiàng)，例如：yt=b0+b1xt-1+b2xt-3+ε，表示為AR(3) model，即最后一期為t-3，因此為AR(3)
利用序列相關(guān)性，使用昨天的因變量，解釋今天的因變量，即yt=b0+b1xt-1+b2xt-2+bpxt-p+ε（遞推式）
Forecasting With an Autoregressive Model：使用自回歸模型計(jì)算未來(lái)的值，例如：自回歸方程為：xt cap=b0 cap+b1 cap×xt-1，其中已知b0，b1，xt-1，求xt+2，計(jì)算時(shí)需要將數(shù)據(jù)代入兩次
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使用自回歸模型要滿足三個(gè)條件：
No autocorrelation：無(wú)序列自相關(guān)性，特指除了模型中的滯后項(xiàng)（模型中的參數(shù)要有相關(guān)性），沒(méi)有其它的序列自相關(guān)（例如：yt=b0+b1yt-1+ε，只有昨天的我可以解釋今天的我，其它的都不可以）
Covariance-stationary series：協(xié)方差平穩(wěn)，特指均值一致，且方差一致，且協(xié)方差一致
No Conditional Heteroskedasticity：無(wú)條件異方差
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追答
相關(guān)的檢驗(yàn)：
1）No autocorrelation：使用t-test來(lái)檢驗(yàn)是否存在序列的自相關(guān)性，H0：r=0，Ha：r≠0，其中rεt，εt-k表示εt和εt-k的相關(guān)系數(shù)
如果H0被拒絕，則說(shuō)明εt和εt-k兩者的相關(guān)系數(shù)顯著的不等于0，修正方法為，將xt-k這一項(xiàng)加入自回歸模型
使用殘差的相關(guān)性來(lái)做檢驗(yàn)，其邏輯是：殘差有自相關(guān)關(guān)系，那么時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間也是有自相關(guān)關(guān)系的。比如有以下的自回歸模型，xt=b0+b1xt-1+εt-1，xt=b0+b1xt-2+εt-2,......
以此類(lèi)推會(huì)有k個(gè)這樣的公式（取決于有多少個(gè)LAG項(xiàng)），我們用殘差的自相關(guān)關(guān)系，比如說(shuō)εt-1和εt-2的自相關(guān)關(guān)系，去解釋xt-1和xt-2的自相關(guān)關(guān)系。你可以理解為“使用殘差的自相關(guān)關(guān)系，可以去解釋時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)關(guān)系”。但只有假設(shè)檢驗(yàn)的環(huán)境下，這種用殘差自相關(guān)解釋時(shí)間序列數(shù)據(jù)自相關(guān)的方法才是可用的
2）Covariance-stationary series：即這組數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)生性質(zhì)上的變化，例如中國(guó)1995年開(kāi)始有股票市場(chǎng)，2006年出臺(tái)股權(quán)分置改革，因此之后的數(shù)據(jù)和之前的數(shù)據(jù)產(chǎn)生了性質(zhì)上的變化，這種就屬于協(xié)方差不平穩(wěn)
備注：第3季度與第4季度為環(huán)比，去年第4季度與今年第4季度為同比
協(xié)方差平穩(wěn)（Covariance-stationary）的條件：均值、方差、協(xié)方差都必須是一個(gè)常數(shù)
備注：過(guò)去的協(xié)方差平穩(wěn)，并不代表未來(lái)的協(xié)方差平穩(wěn)，我們?cè)谧鲎曰貧w時(shí)只要保證過(guò)去的協(xié)方差平穩(wěn)即可
所有的協(xié)方差平穩(wěn)的時(shí)間序列都有一個(gè)特性，叫做均值復(fù)歸（mean-reverting），表示數(shù)據(jù)本身具有一定的修復(fù)功能
結(jié)論：對(duì)于AR(1) model而言，其均值為xt=b0/(1-b1)；如果xt>b0/(1-b1)就會(huì)有一股力量把xt向下推，但不會(huì)低于b0/(1-b1)，如果xt -
追答
隨機(jī)游走（random walks）
Random walk without a drift（不帶漂移量的隨機(jī)游走）：均值復(fù)歸的反面，其意義yt=b0+b1yt-1+ε，如果使得b0=0，b1=1，則公式變?yōu)閥t=yt-1+ε，說(shuō)明前一個(gè)y和當(dāng)前y之間差了一個(gè)殘差，而殘差可大可小可正可負(fù)，這種情況就稱(chēng)為不帶漂移量的隨機(jī)游走（無(wú)截距）
Random walk with a drift（帶漂移量的隨機(jī)游走）：即當(dāng)b0≠0時(shí)的隨機(jī)游走（多了一個(gè)截距）
在隨機(jī)游走當(dāng)中，最好的估量下一個(gè)量的值，就是上一個(gè)量的值（想要估計(jì)明天，最好的值就是今天）
只要其斜率為1（b1=1）則就是一個(gè)隨機(jī)游走，這種現(xiàn)象稱(chēng)為單位根現(xiàn)象（unit root），另外要注意：b1=1等價(jià)于unit root等價(jià)于non-stationary
注意：A random walk has an undefined mean reverting level：如果存在隨機(jī)游走，則不存在mean reverting level，而協(xié)方差平穩(wěn)也是不存在的
Dickey-Fuller test（迪基-福勒檢驗(yàn)），DF test用于檢測(cè)是否存在單位根現(xiàn)象，邏輯：xt=b0+b1xt-1+ε，兩邊同時(shí)減去xt-1，則公式變形為：xt-xt-1=b0+(b1-1)xt-1+ε，其原假設(shè)為：H0：g=0，Ha：g<0，（g=b1-1）使用T分布查表，因?yàn)槠涔阶筮呑冃螢閤t-xt-1，因此需要使用revised t-table進(jìn)行查表。另外要注意其備擇假設(shè)為g<0而非g≠0，原因是當(dāng)g>0時(shí)，b1>1，意味著這是一個(gè)擴(kuò)散序列，一般認(rèn)為擴(kuò)散序列很難是stationary（平穩(wěn)）的，而當(dāng)g<0時(shí)，b1<1，意味著這是一個(gè)收斂序列，嚴(yán)格意義說(shuō)，如果一個(gè)序列是收斂序列，且其b1≠1，才說(shuō)明這個(gè)序列是平穩(wěn)的
如果DF檢驗(yàn)失敗，等同于不能拒絕原假設(shè)H0：g=0，等同于存在隨機(jī)游走，等同于存在單位根現(xiàn)象，等同于mean reverting level不存在，等同于協(xié)方差不平穩(wěn)，使用first-difference（一階差分）修正隨機(jī)游走的問(wèn)題 -
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Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)：自回歸條件異方差
如果殘差項(xiàng)存在條件異方差，意味著殘差項(xiàng)是與t是有關(guān)的（殘差項(xiàng)是隨著時(shí)間變化而變化），因此可以對(duì)殘差項(xiàng)的平方與t做一個(gè)自回歸模型，這個(gè)模型就稱(chēng)為ARCH(1)
H0：a1=0，Ha：a1≠0，如果a1=0，表示沒(méi)有條件異方差（另外可以使用GLS（Generalized least squares）：廣義最小二乘法）
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Compare forecasting power with RMSE（root mean square error）可以使用RMSE檢驗(yàn)AR模型的力度
In-sample forecasts：例如：用2007-2014年的數(shù)據(jù)做模型，去估計(jì)2009年的數(shù)據(jù)（沒(méi)有意義）
Out-of-sample forecasts：例如：用2007-2014年的數(shù)據(jù)做模型，去估計(jì)2015年的數(shù)據(jù)
使用RMSE指標(biāo)去衡量自回歸模型的預(yù)測(cè)力度，RMSE：√(∑εi2/n)=√[(yt-yt cap)2/n]，相當(dāng)于yt-yt cap表示不能被解釋的部分的方差，RMSE越小越好 -
追答
Regression with More Than One Time Series（討論自變量和因變量都是時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)能否建模）
xt和yt都平穩(wěn)-----可以
xt不平穩(wěn)，yt平穩(wěn)-----不可以
xt平穩(wěn)，yt不平穩(wěn)-----不可以
xt和yt都不平穩(wěn)（性質(zhì)上不同），但步調(diào)一致，這種情況稱(chēng)為：cointegrated（協(xié)整）-----可以
xt和yt都不平穩(wěn)，但步調(diào)不一致-----不可以
DF-EG test：用于檢驗(yàn)是否出現(xiàn)協(xié)整，H0：no cointegration，Ha：cointegration，拒絕原假設(shè)，可建模
結(jié)論：如果DF-EG test檢驗(yàn)可以拒絕原假設(shè)，即存在協(xié)整現(xiàn)象，則一定可以建模，無(wú)論xt與yt是否平穩(wěn)
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回復(fù)：謝謝老師，做題目找到了些感覺(jué)。
