Xiaott
2023-10-25 19:19這道題請老師講解一下。此外，極大似然估計是在什么時候使用的？
所屬：FRM Part II > Market Risk Measurement and Management 視頻位置 相關(guān)試題
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1個回答
黃石助教
2023-10-30 09:28
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同學(xué)你好。這道題涉及極值理論的估計方法，其中絕大部分在FRM此前的學(xué)習(xí)中是沒有做過鋪墊的。這些方法相對于線性回歸來說難度較高，答疑平臺上無法展開，建議同學(xué)稍微留個印象就可以了，考試不會考的太深。如果感興趣的話可以看一下原版書第39-43頁。其中，最大似然估計通過最大化樣本的對數(shù)似然函數(shù)以找到參數(shù)估計，得到的參數(shù)估計可以最大化觀測到現(xiàn)有樣本的概率。
詳細(xì)來說，最大似然估計需要首先對分布作出假設(shè)，然后根據(jù)樣本數(shù)值和分布得到一個聯(lián)合概率，再通過最大化這個聯(lián)合概率（即似然函數(shù)）的對數(shù)（以求數(shù)學(xué)上的簡化）來得到參數(shù)估計。比方說我們要估計廣義極值理論，假設(shè)極值服從Gumbell分布。Gumbell分布的PDF見圖一（課上是CDF，對其求一階導(dǎo)即可得到PDF），記作f(x)。接下來，我們用每個樣本的取值代入PDF，得到f(x1)，f(x2)，...，f(xn)。假設(shè)數(shù)據(jù)獨立同分布，那么觀測到整個樣本的概率就應(yīng) = f(x1)*f(x2)*...*f(xn)，這就是一個聯(lián)合概率（注：這是獨立情況下P(AB) = P(A)P(B)的直接體現(xiàn)），在最大似然估計中被稱作似然函數(shù)。接下來找到最大化似然函數(shù)的參數(shù)，但由于對連乘作微分較為復(fù)雜，我們一般對似然函數(shù)取一個對數(shù)，把multiplication轉(zhuǎn)換為addition，再去求一階導(dǎo)（針對Gumbell分布的對數(shù)似然函數(shù)見圖二）。求出來的估計量就是最大化觀測到現(xiàn)有樣本的最大似然估計量。最大似然估計量有非常良好的性質(zhì)，雖然大部分情況下其在有限樣本中有偏，但在大樣本中是漸近無偏且一致的（即隨著樣本增大，其期望值等于總體參數(shù)，且依概率收斂于總體參數(shù)）；更甚，若模型對于分布的假設(shè)是正確的，那么可證最大似然估計量在大樣本中達(dá)到克拉瑪-羅下界（Cramer-Rao Lower Bound），是最有效的估計量。
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