歡同學(xué)
2023-11-08 14:54這里的risk premium是誰(shuí)？另外，如果分析drift，dw里也有個(gè)根號(hào)dt，那么dw算不算也是drift呢？畢竟也有時(shí)間t
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1個(gè)回答
黃石助教
2023-11-08 17:00
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同學(xué)你好。這道題考的比較深哈，建議記住結(jié)論即可。我們學(xué)習(xí)的瞬時(shí)利率過(guò)程都是假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)中性，即在風(fēng)險(xiǎn)中性世界下去刻畫利率的演變。因此，drift描述的其實(shí)是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的E[dr]，而這與風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界下的E[dr]是不同的。以債券為例，假設(shè)其當(dāng)前價(jià)格 = P，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界下債券的預(yù)期變動(dòng)E[dP] = r*P，即當(dāng)前債券價(jià)格乘以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；而風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界下其預(yù)期變動(dòng)E[dP] = E[R_Bond]*S，其中E[R_Bond]為債券預(yù)期收益率。E[R_Bond] - r被定義為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)risk premium，即投資者承擔(dān)額外風(fēng)險(xiǎn)所需獲得的補(bǔ)償。那么根據(jù)這個(gè)思路，風(fēng)險(xiǎn)中性下的E[dr]也應(yīng)等于風(fēng)險(xiǎn)厭惡下的E[dr]減去一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。但是，需要注意的是，實(shí)際上風(fēng)險(xiǎn)中性下的E[dr] = 風(fēng)險(xiǎn)厭惡下的E[dr] + 風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。這個(gè)我們可以簡(jiǎn)易來(lái)理解：債券價(jià)格與利率是呈反向關(guān)系的，因此，如果在計(jì)算債券價(jià)格的預(yù)期變動(dòng)時(shí)我們是減去了風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，那么在計(jì)算利率的預(yù)期變動(dòng)時(shí)我們應(yīng)加上風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。所以，我們可以將風(fēng)險(xiǎn)中性世界下的Vasicek model改寫成下圖中的形式，其中l(wèi)ambda（風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)）可以為常數(shù)，也可以隨t的變動(dòng)而變動(dòng)。
對(duì)于W和dW，不是dW里有(dt)^0.5，而是dW is scaled with (dt)^0.5。這主要是來(lái)自于布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，即其二次變差（quadratic variation；可以簡(jiǎn)單理解成每期W的變化的平方加總）并非無(wú)限，而等于期限長(zhǎng)度。比如從W_0到W_T，對(duì)應(yīng)的二次變差等于T。簡(jiǎn)單來(lái)想，這意味著W每一次的變化的平方都對(duì)應(yīng)著時(shí)間的變化（所以變化的平方之和等于期間長(zhǎng)度），即(dW)^2 = dt。故dW = (dt)^0.5。在隨機(jī)微分方程中（例如Vasicek model），dW是一個(gè)隨機(jī)變量，給整個(gè)序列帶來(lái)一定的隨機(jī)性；drift則確立了序列長(zhǎng)期以往的趨勢(shì)。
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