Ozr
2024-01-07 11:50為什么殘差自由度使n-k-2? 為什么不是-1呢？
所屬：CFA Level II > Quantitative Methods 視頻位置 相關(guān)試題
來源： 視頻位置 相關(guān)試題
1個(gè)回答
愛吃草莓的葡萄助教
2024-01-08 14:54
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同學(xué)你好。Studentized residual value中的自由度為n-k-2，這是因?yàn)樵谟?jì)算學(xué)生化殘差時(shí)使用了Hat矩陣的對角線元素來調(diào)整每個(gè)觀測值的誤差平方和（SSE）。Hat矩陣是由回歸模型的設(shè)計(jì)矩陣計(jì)算而來，其作用在于描述每個(gè)觀測值對回歸方程的影響程度。
在回歸分析中，設(shè)計(jì)矩陣通常包含了k個(gè)解釋變量，再加上常數(shù)項(xiàng)，共有k+1個(gè)元素。Hat矩陣是對設(shè)計(jì)矩陣求逆后再求轉(zhuǎn)置得到的，因此其秩最多為k+1。由于Hat矩陣的對角線元素代表了觀測值自身的影響程度，我們可以通過它們來計(jì)算殘差的學(xué)生化形式。
具體計(jì)算過程中，每個(gè)觀測值的學(xué)生化殘差是其殘差除以標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)，這里的標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)Hat矩陣對角線上的元素進(jìn)行調(diào)整后的SSE的平方根。由于Hat矩陣的秩為k+1，其對角線上有n-k-1個(gè)非零元素（n為觀測值總數(shù)），對應(yīng)于n-k-1個(gè)自由度。因此，剩余的自由度為n-k-1。
然而，在計(jì)算學(xué)生化殘差時(shí)，我們通常會將整個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行一次回歸擬合，得到Hat矩陣后，利用其對角線元素來調(diào)整SSE，從而得到學(xué)生化殘差。這種情況下，我們實(shí)際上是在使用n-k-2個(gè)自由度，因?yàn)樵谟?jì)算SSE時(shí)，常數(shù)項(xiàng)已經(jīng)被包含在內(nèi)，相當(dāng)于k+1個(gè)變量，所以自由度應(yīng)為n-k-2。
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