投資這件事除了有運氣成分以外，同時很多精準(zhǔn)的計算才是決定你投資成功與否的重要因素，學(xué)習(xí)投資的人應(yīng)該知道量化投資中的公式是非常多的，所以小編在這里給大家整理了一些非常燒腦的公式，不知道考過AQF量化金融分析師的你能不能看得懂。

布朗運動

1827年蘇格拉生物學(xué)家Robert Brown用他自己的名字命名了微小粒子在液體中自由運動的現(xiàn)象：布朗運動。這種“隨機游走”的理念后來貫穿于許多科學(xué)領(lǐng)域，尤其是普遍運用于各種不可預(yù)測的連續(xù)時間過程的機制，基于布朗運動的對數(shù)正態(tài)隨機游走理論也是金融市場的經(jīng)典框架，為之后的量化金融的蓬勃發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

量化開拓者

Louis Bachelier是第一個量化描述布朗運動的人。他在1900年的論文中提出，影響股票價格漲跌的原因是無窮無盡的，無法用概率論模型來動態(tài)準(zhǔn)確地預(yù)測，這也不是一項精確意義上的科學(xué)；

但是在市場的某一個靜態(tài)的時刻，可以建立數(shù)學(xué)模型來分析市場漲跌的概率的大小，這就是隨機游走的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。他的模型為后來的研究工作提供了大量的參考，例如股票價格模型、期權(quán)定價模型等，但遺憾的是在他的有生之年都沒有引起業(yè)界的重視，它的價值直到幾十年后才被后人發(fā)現(xiàn)。

擴散方程

許多期權(quán)相關(guān)的模型最終歸結(jié)于一個擴散方程，這是一個偏微分方程，一般通過數(shù)值方法計算。主流的兩種方法是模特卡羅法和有限差分（一個更為復(fù)雜的二叉樹模型）。

有限差分方法最初由LewisFry Richardson在1911年提出，他將微分方程離散成了差分方程，用來解決天氣預(yù)測中擴散方程問題。Richardson后來從事戰(zhàn)爭原因數(shù)學(xué)模型的研究。

維納過程

1923年，NorbertWiener為布朗運動建立了一套嚴(yán)格的理論體系，這也是之后幾十年的量化金融的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在數(shù)理類學(xué)術(shù)論文中被大量引用。

在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維納過程在連續(xù)鞅以及連續(xù)時間隨機過程、擴散過程、位勢論中發(fā)揮重要作用；在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維納過程用來代表白噪聲高斯過程的積分，是信號處理、控制理論的重要模型；在物理學(xué)、量子力學(xué)方面，維納過程也有廣泛的運用；在數(shù)量金融領(lǐng)域，它是Black-Scholes期權(quán)定價模型的基礎(chǔ)。

數(shù)量經(jīng)濟學(xué)

說到20世紀(jì)的經(jīng)濟學(xué)家，美國人Paul Samuelson算是最有影響力的之一，他建立了經(jīng)濟學(xué)理論的科學(xué)分析體系，被稱為現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)之父，也是第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的美國人。

Samuelson建立了宏觀和微觀經(jīng)濟學(xué)數(shù)量化體系，代表的研究成果包括消費理論中的功效函數(shù)、福利經(jīng)濟學(xué)里面的Lindahl–Bowen–Samuelson條件、資本市場理論中的隧道理論、金融市場中的有效市場假說、公共金融學(xué)中的較優(yōu)化配置、國際金融學(xué)中的Balassa–Samuelson效應(yīng)和Heckscher–Ohlin 模型等。

Samuelson重新發(fā)現(xiàn)了Bachelier的研究論文，為后來的期權(quán)定價理論打下了基礎(chǔ)。他的衍生品定價理論是基于數(shù)學(xué)期望的，這和之后的風(fēng)險中性理論有很大的差別。Samuelson從哈佛大學(xué)拿到了經(jīng)濟學(xué)博士，并在25歲的時候成為MIT的助理教授，該校的經(jīng)濟學(xué)專業(yè)也在他的帶領(lǐng)下成為世界經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域的翹楚。他的學(xué)生Robert M. Solow，F(xiàn)ranco Modigliani，Robert C. Merton，Joseph E. Stiglitz 和Paul Krugman，也都獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。

伊藤引理

很難想象如果金融學(xué)領(lǐng)域沒有了隨機過程或者伊藤微積分會是怎樣的，有些人甚至認(rèn)為金融學(xué)就是伊藤微積分。KiyosiIto證明了獨立變量隨機微分方程和該變量函數(shù)的隨機微分方程之間的關(guān)聯(lián)，其中一個經(jīng)典的衍生品定價理論就是資產(chǎn)價格演變的對數(shù)正態(tài)隨機微分方程，伊藤引理告訴我們了該資產(chǎn)期權(quán)價格的隨機微分方程。

簡單地說，如果有一個維納過程X和一個均值為0、方差為dt的正態(tài)分布的增量dX，那么增量的函數(shù)F（X）可以用泰勒二階展開表示為：

數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)格一些的表達方式為：

現(xiàn)代組合理論

1952年，HarryMarkowitz第一個提出了投資組合理論的量化模型，這是一個非常優(yōu)雅的理論，創(chuàng)新性地給出了有效市場組合的概念，同時對資產(chǎn)的波動性和相關(guān)性的意義做了描述。Markowitz認(rèn)為資產(chǎn)組合可以獲得比單個資產(chǎn)更好的表現(xiàn)，對于這個“更好”，是基于預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)方差的量化指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差被用來解釋風(fēng)險。對于任何一個資產(chǎn)組合，在特定風(fēng)險的條件下，都可以獲得一個較優(yōu)的收益，這個組合的位置連成的曲線稱為“有效前沿”，曲線上的每個點都是一個有效組合。

Markowitz因為這項研究成果獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，但實際過程中卻很少使用這個理論，原因是這個模型做了很多在理想狀況下，而市場中卻不存在的假設(shè)；同時模型的一些參數(shù)，例如波動性、相關(guān)性都不容易衡量，但計算的結(jié)果對這些參數(shù)又十分敏感，從而導(dǎo)致模型的不穩(wěn)定性。

資本資產(chǎn)定價模型

1963年，斯坦福大學(xué)的William Sharpe，哈佛大學(xué)的JohnLintner和挪威的經(jīng)濟學(xué)家Jan Mossin在Markowitz現(xiàn)在投資組合理論的基礎(chǔ)之上，用一個簡單的模型對風(fēng)險資產(chǎn)進行定價，即資本資產(chǎn)定價模型（Capital Asset Pricing Model）。這個模型將資產(chǎn)收益對市場變化的敏感性用β來表示，同時將無風(fēng)險收益率考慮在內(nèi)，得出風(fēng)險資產(chǎn)預(yù)期收益率。

這些模型或者是原理都是一些大神們總結(jié)或者是運用過的，這些對于學(xué)習(xí)量化投資來說都是比較好的方法，當(dāng)然如果大家覺得這些現(xiàn)在接受起來很困難，大家也可以先學(xué)習(xí)金程教育的關(guān)于量化金融分析師的課程或者是項目。

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CAPM考慮一種特殊形式的功效函數(shù)，只包含了收益率的一階矩和二階矩，換句話說就是收益率的分布僅僅由均值和方差決定。在這些條件下，CAPM認(rèn)為權(quán)益的成本僅僅由β決定。和現(xiàn)代組合理論類似，CAPM也有一系列過于理想化的假設(shè)，導(dǎo)致模型在實證分析中效果不佳。不過盡管之后出現(xiàn)了套利定價理論等更為復(fù)雜精確的模型，CAPM由于它的簡單易用，直到現(xiàn)在依然很受歡迎。

有效市場假說

1965年，芝加哥大學(xué)的經(jīng)濟金融學(xué)博士Fama在他的博士論文中分析了股票價格變動的行為，并得出結(jié)論：短期的股票價格不可預(yù)測，近似于隨機游走。股票市場收益是厚尾分布，這意味著一些極端情況的出現(xiàn)相比于正態(tài)分布假設(shè)下出現(xiàn)的頻率更高。

1970年，F(xiàn)ama提出了有效市場的理論，主要分為兩大部分：一是將市場的有效性分為三種情況：強勢有效、半強勢有效和弱勢有效，解釋了在不同的市場有效性的情況下，公開信息是如何反應(yīng)到股票價格中；二是認(rèn)為在無法否定市場平衡的情況下，市場的有效性也無法被拒絕。這個概念稱為“聯(lián)合假設(shè)問題”，意思是市場有效性需要由預(yù)期收益來進行驗證，但是往往預(yù)期收益和實際收益的偏差很大，因此我們無法證明市場是非有效的，研究者只能不斷通過修改模型來減少市場偏差。

Fama的另一個貢獻就是他的三因子模型。在資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）等傳統(tǒng)理論下，投資組合的全部風(fēng)險溢價由Beta系數(shù)表示。但是這一模型在解釋股票市場回報的現(xiàn)實情況上，如一月效應(yīng)，遇到了諸多挑戰(zhàn)。Fama和French觀察發(fā)現(xiàn)市值較小、市值賬面比較低的兩類公司更有可能取得優(yōu)于市場水平的平均回報率。由此三因子模型通過引入二個新的解釋變量：市凈率、公司規(guī)模、與CAPM中的市場指數(shù)一同估計股票的回報水平。

其中r是投資組合的期望收益率，Rf是市場無風(fēng)險收益率，Rm是市場組合的收益率，三個變量的待估系數(shù)beta是市場組合風(fēng)險溢價、規(guī)模溢價、市凈率溢價三個因素變化對期望收益率的影響，其中市場組合風(fēng)險溢價的系數(shù)beta概念接近于CAPM模型中的beta系數(shù)。

公司規(guī)模變量SMB是指由市值小的公司組成的投資組合回報與市值大的公司組成的投資組合回報之差，市凈率溢價HML是賬面價值比較高的公司組成的投資組合回報與比值較低的公司投資組合回報之差。alpha是超額收益率，在理想的情況下，投資組合的超額回報將全部被三因素解釋，從而alpha應(yīng)在統(tǒng)計學(xué)意義上等于0。

準(zhǔn)隨機數(shù)

1960年代中期，許多學(xué)者開始致力于準(zhǔn)隨機數(shù)理論，或者稱為低偏差序列理論的研究。這個課題關(guān)心的是一系列點在任意維度的分布情況，以盡可能少量的點最大程度覆蓋整個空間。粗略來講，如果一個序列中隨機取出一部分點組成集合B并且和B的測度接近，多次試驗取平均值的情況下，可以認(rèn)為序列的偏差較低。低偏差序列并不是隨機，也不是偽隨機，它通常用來代替隨機均勻分布序列，它通常具有隨機數(shù)的一些性質(zhì)，因此在多個領(lǐng)域中發(fā)揮重要運用。

相比于純隨機數(shù)，準(zhǔn)隨機數(shù)可以更快速地解決一些問題。確定性的方法一般只有在所有數(shù)據(jù)都完備的時候，給出一個精確解；而準(zhǔn)隨機數(shù)可以隨著數(shù)據(jù)的增加不斷地迭代計算，使得結(jié)果越來越接近精確值。概率論中，準(zhǔn)隨機數(shù)可以用來發(fā)現(xiàn)特征函數(shù)和概率密度函數(shù)，以及確定性的函數(shù)在微小擾動情況下的導(dǎo)函數(shù)，準(zhǔn)隨機數(shù)還可以準(zhǔn)確快速地計算高階矩。

此外，準(zhǔn)隨機數(shù)還可以用于：對于一些不涉及排序的統(tǒng)計指標(biāo)，如均值、方差、偏度等；復(fù)雜的確定性函數(shù)的積分、全局最值的計算；一些局部確定性算法的起點，如Newton–Raphson迭代；以及一些搜索算法。這一數(shù)學(xué)工具的發(fā)展，推動了多元積分、蒙特卡洛方法，數(shù)值積分的運用，對金融領(lǐng)域之后三十年的發(fā)展起到了重大作用。

賭場中的概率論

Ed Thorp，一位美國數(shù)學(xué)教授、對沖基金經(jīng)理、和21點玩家，是近代概率論的先驅(qū)。他的第一次名聲大噪是他發(fā)現(xiàn)了在賭場中取得21點游戲勝利的方法，在數(shù)學(xué)上證明了算牌法可以克服賭場優(yōu)勢，并寫成了一本暢銷書“Beat the Dealer”，這本書甚至使拉斯維加斯的賭場改變原有的規(guī)則。

另一方面，Thorp和ClaudeS hannon，一位信息學(xué)家，一起發(fā)明了世界的第一臺可穿戴電腦，因此也被稱為“可穿戴電腦之父”。1960年代，Thorp利用他在概率論和數(shù)理統(tǒng)計方面的知識尋找證券市場上的錯誤定價，建立了第一支基于純量化金融的對沖基金Princeton/Newport Partners，并因此賺取了大量財富。