投資這件事除了有運(yùn)氣成分以外，同時(shí)很多精準(zhǔn)的計(jì)算才是決定你投資成功與否的重要因素，學(xué)習(xí)投資的人應(yīng)該知道量化投資中的公式是非常多的，所以小編在這里給大家整理了一些非常燒腦的公式，不知道考過AQF量化金融分析師的你能不能看得懂。

期權(quán)定價(jià)

1973年，三位經(jīng)濟(jì)學(xué)家Fischer Black，Myron Scholes 和Robert Merton給出了歐式期權(quán)定價(jià)的公式，此公式問世后帶來了期權(quán)市場的繁榮。該公式被廣泛使用，雖然在很多情況下被使用者進(jìn)行一定的改動(dòng)和修正。很多經(jīng)驗(yàn)測試表明這個(gè)公式足夠貼近市場價(jià)格，然而也有會(huì)出現(xiàn)差異的時(shí)候，如很有名的“波動(dòng)率的微笑”。模型的基本原理是上文所述的幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

以及如下的前提假設(shè)條件：

1.金融資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而金融資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布；

2.在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的；

3.市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

4.金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得（該假設(shè)后被放棄）；

5.該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施。

從而推導(dǎo)出歐式期權(quán)價(jià)格的偏微分方程：

求解這個(gè)方程得到歐式期權(quán)價(jià)格的表達(dá)式：

公司債務(wù)風(fēng)險(xiǎn)

1974年，Robert Merton從看漲期權(quán)的角度來對(duì)公司價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化建模，公司的債務(wù)關(guān)聯(lián)到期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，債務(wù)的期限則對(duì)應(yīng)期權(quán)的到期日。如果某一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值為0，則說明資產(chǎn)價(jià)值小于債務(wù)，導(dǎo)致公司破產(chǎn)。

信用風(fēng)險(xiǎn)在90年代初迅速增加，關(guān)于這方面的理論和實(shí)踐運(yùn)用也在快速擴(kuò)張，這導(dǎo)致了一些巨大的事件的發(fā)生，比如Merton所在的長期資本管理公司的破產(chǎn)。目前關(guān)于信用風(fēng)險(xiǎn)的理論基于Merton的模型已經(jīng)有了長足的發(fā)展，引入了事件隨機(jī)發(fā)生的泊松過程，比如破產(chǎn)或者違約，已有許多研究成果。

蒙特卡羅法

1977年，愛爾蘭的經(jīng)濟(jì)學(xué)家Phelim Boyle通過大量地模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)未來的收益，并取平均值，以此對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，這就是蒙特卡羅方法，也是期權(quán)定價(jià)的第三種方法（另外兩種分別是BSM模型和二叉樹）。這種方法相對(duì)比較容易實(shí)現(xiàn)，并且使用靈活，在一切特定的情況下，比如股票價(jià)格發(fā)生突變，蒙特卡羅法定價(jià)具有明顯的優(yōu)勢。

利率定價(jià)

70年代中期，量化金融模型已經(jīng)非常普遍，但卻沒有關(guān)于利率定價(jià)的模型。有些人運(yùn)用股票期權(quán)定價(jià)的公式來對(duì)利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，但是關(guān)于利率計(jì)算的完整框架還未建立。直到1977年，Vasicek提出的利率模型解決了這個(gè)問題。他將短期利率抽象為隨機(jī)游走的模型，利率的價(jià)格可以用以下隨機(jī)微分方程表示：

其中Wt是在風(fēng)險(xiǎn)中性框架下的維納過程，σ表示利率的波動(dòng)率

同時(shí)，Vasicek也給出了債券定價(jià)的隨機(jī)微分方程：

二叉樹模型

BSM公式通過隨機(jī)微積分的方式得到期權(quán)定價(jià)的偏微分方程，但是在當(dāng)時(shí)金融從業(yè)者并不都精通數(shù)學(xué)和物理，只有極少數(shù)的人能理解這個(gè)公式；Boyle提出的蒙特卡羅模擬法是一種易于理解的方法，但是真正將期權(quán)定價(jià)推向普及的是Cox,Ross, Rubinstein這三位MBA在讀的學(xué)生，即二叉樹模型。

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上，即在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，證券的價(jià)格運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設(shè)非常簡單，但由于可以把一個(gè)給定的時(shí)間段細(xì)分為更小的時(shí)間單位，因而二叉樹期權(quán)定價(jià)模型適用于處理更為復(fù)雜的期權(quán)。

假定到期且只有兩種可能，而且漲跌幅均為10%。這種假設(shè)過于粗糙，可修改為在T分為很多小的時(shí)間間隔Δt，而在每一個(gè)Δt，股票價(jià)格變化由S到Su或Sd。如果價(jià)格上漲概率為p，那么下跌的概率為1-p，可以得到：

由BSM方程知：

可以假定市場為風(fēng)險(xiǎn)中性。即股票預(yù)期收益率μ等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r。

大家看了這么多的關(guān)于量化投資的公式，應(yīng)該也感覺得到學(xué)習(xí)量化金融分析師的不容易了吧，雖然我們在學(xué)習(xí)的時(shí)候不是每一種都會(huì)用到，但是這些公式卻是要大家都知道的，所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候一定要保證知識(shí)的全面性。

》》點(diǎn)擊進(jìn)入學(xué)習(xí)量化金融分析師AQF實(shí)訓(xùn)項(xiàng)目

金融概率論

1979年，MikeHarrison 和DavidKreps，證明了期權(quán)價(jià)格和高等概率論基于離散時(shí)間的關(guān)系，而量化金融領(lǐng)域在這之前是完全由經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家主導(dǎo)的。1981年，Harrison和StanPliska通過同樣的思路將這一理論擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間領(lǐng)域，建立了證券市場連續(xù)交易的廣義隨機(jī)過程模型。從那之后到90年代中期，應(yīng)用數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紱]有受到過多的關(guān)注。

債券定價(jià)

Vasicek利率定價(jià)模型的一個(gè)問題是并沒有給出一個(gè)很好的債券價(jià)格，因此對(duì)于固定收益相關(guān)的產(chǎn)品及衍生品的定價(jià)也無從談起。1986年Thomas Ho 和Sang-Bin Lee提出了無套利利率變化模型（AR Model），這個(gè)模型以完整的期限結(jié)構(gòu)作為已知條件，繼而推出期限結(jié)構(gòu)的無套利機(jī)會(huì)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，接著證明了AR模型可以用來為利率或有求償權(quán)相對(duì)于觀測到的期限結(jié)構(gòu)的定價(jià)。此外，該模型還可以用來對(duì)諸多或有求償權(quán)利率進(jìn)行定價(jià)，包括債券期權(quán)、可隨時(shí)償還的債券等。

HJM模型

盡管Ho和Lee展示了如何將簡單債券的理論值和市場價(jià)格匹配，但是這種方法過于復(fù)雜，不易執(zhí)行。1992年，David Heath，Robert Jarrow 和Andrew Morton（HJM模型）采用了一種新的基于等鞅測度的方法，對(duì)整條收益率曲線的隨機(jī)變化進(jìn)行建模，而不是只對(duì)短期利率建模然后歸納出整條收益率曲線。

最初的收益率曲線，以及簡單利率工具的值，需要作為模型的輸入。這些模型不容易用微分方程的形式表達(dá)，因此也是基于蒙特卡羅模擬的方式實(shí)現(xiàn)。

這個(gè)模型的創(chuàng)新主要體現(xiàn)在：

1.直接對(duì)遠(yuǎn)期利率曲線進(jìn)行隨機(jī)微積分計(jì)算；

2.不需要“反向期限結(jié)構(gòu)”，以避免來自于或有求償權(quán)所帶來的市場風(fēng)險(xiǎn)；

3.它通過隨機(jī)即期利率過程的多個(gè)隨機(jī)因子，來影響期限結(jié)構(gòu)。

多資產(chǎn)期權(quán)

對(duì)于多個(gè)資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)，每一個(gè)維度的資產(chǎn)也是遵循對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走理論，通過多元積分得到和路徑無關(guān)的歐式期權(quán)的價(jià)值。對(duì)于此類期權(quán)的定價(jià)本質(zhì)就是求積分，這種方式再高維并且正交的情況下會(huì)變得很低效，而蒙特卡羅方法可以解決這一問題。蒙特卡羅積分估計(jì)的原理很簡單：積分就是平均值乘以一個(gè)數(shù)量，是一個(gè)連續(xù)累加的過程。平均值的估計(jì)可以通過隨機(jī)數(shù)實(shí)現(xiàn)，時(shí)間復(fù)雜度為O（N），精度大約可以在O（1/N1/2），并且是和維度無關(guān)的。

60年代的時(shí)候，學(xué)者就對(duì)低偏差序列做了很多的研究，并且證明了非隨機(jī)的分布可以達(dá)到O（1/N）的精確度（維度之間可能有小的相關(guān)性）。如今，一旦需要用到隨機(jī)數(shù)，低偏差序列還是一個(gè)十分有用的工具，也普遍用在了期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域。

1990年初，許多學(xué)者（Cheyette,Barrett, Moore, Wilmott等）延續(xù)了之前的成就成果，進(jìn)一步對(duì)多資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行研究，他們將數(shù)論的知識(shí)應(yīng)用到金融領(lǐng)域。在他們的研究成果公開之后的幾年內(nèi)，哥倫比亞大學(xué)一個(gè)不相關(guān)的組織將這些工作申請(qǐng)了專利。

期權(quán)動(dòng)態(tài)對(duì)沖

至此，期權(quán)定價(jià)已經(jīng)出現(xiàn)了大量的理論計(jì)算方法，也在不斷地修正和完善，但和實(shí)踐的結(jié)合始終還是不夠緊密。1996年Marco Avellaneda，Antonio Paras， Arnon Levy 和Terry Lyons取得了突破，提出期權(quán)定價(jià)不確定波動(dòng)模型。

這是一個(gè)非線性的模型，看似很像BSM的微分方程，但是輸入的波動(dòng)率是不同的，它是由V的凸性，也就是V對(duì)S的二階偏導(dǎo)數(shù)決定。

在他們的理論出現(xiàn)之前，期權(quán)定價(jià)的唯一結(jié)論就是價(jià)值和delta值，所謂動(dòng)態(tài)對(duì)沖也只是理論上可行，而這一模型的出現(xiàn)使得理論向?qū)嵺`又邁進(jìn)了一步。另外一個(gè)重要的結(jié)論就是交易所交易期權(quán)的理論價(jià)格就是它的市場價(jià)格，這使復(fù)雜的波動(dòng)率曲面模型顯得有些多余。

BGM模型

盡管HJM利率模型解決了隨機(jī)即期利率模型及其相關(guān)的問題，但它依然有兩個(gè)主要的缺陷：模型所需的即期利率是真實(shí)存在的；它假設(shè)了遠(yuǎn)期利率的連續(xù)分布。1997年，Alan Brace，Dariusz Gatarek 和Marek Musiela基于實(shí)際交易的離散的利率，提出了新的BGM模型。該模型只依賴于可觀測的利率：遠(yuǎn)期LIBOR利率。同時(shí)BGM模型和BSM模型具有一致性，是后者的完善和補(bǔ)充。

其中：

L（t , Tn ,Tn+1）是遠(yuǎn)期LIBOR利率

Wt是d維布朗運(yùn)動(dòng)，λn（t）是波動(dòng)率，？t是漂移

CDO定價(jià)

1990年代初，信用衍生工具開始爆發(fā)，典型的代表是CDO；而另一方面，由于違約涉及到多個(gè)參與者，定價(jià)的模型非常復(fù)雜。寫到這兒，終于有一位在quant界產(chǎn)生一定影響力的華人了。

在CDO 以數(shù)以百萬計(jì)的次級(jí)住房按揭貸款構(gòu)成的資產(chǎn)池（asset pool ）為基礎(chǔ)被發(fā)明出來時(shí)，人們認(rèn)為最大的風(fēng)險(xiǎn)在于違約率難以計(jì)算。因?yàn)樽》窟`約不同于其他形式的小概率事件的債務(wù)違約，房價(jià)下跌會(huì)在不同程度和不同時(shí)間影響一大批人。

購房者每月集體償還的現(xiàn)金量是已獲再融資的購房人的數(shù)量和因違約而未還款人的數(shù)量的函數(shù)，當(dāng)然還有許多其他變量參數(shù)，因此投資不存在保證性的確定利率。過去華爾街投行們?yōu)榱私鉀Q這一問題而將CDO 資產(chǎn)按違約可能性劃分為不同等級(jí)（tranches）的方法并不完善，評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)對(duì)于此類債券的AAA 評(píng)級(jí)也存有很大風(fēng)險(xiǎn)。

David Li（中文名李祥林）的貢獻(xiàn)便是將所有的變量進(jìn)行相關(guān)性的量化分析，簡單地說就是計(jì)算一下一旦一個(gè)購房人還款違約，周圍鄰居違約的可能性有多大，進(jìn)一步擴(kuò)展到再周圍的人。當(dāng)然他真正研究對(duì)象要比這個(gè)范圍寬泛很多，這里只是一個(gè)例子。度量相互之間關(guān)聯(lián)性及關(guān)聯(lián)性程度的高低是確定按揭貸款債務(wù)風(fēng)險(xiǎn)大小的重要部分。以下兩個(gè)公式是常用的Copula函數(shù)：

SABR模型

一直以來，對(duì)于模型的需求都是計(jì)算快速、并且接近市場價(jià)格。Deep Kumar，Andrew Lesniewski 和Diana Woodward提出了隨機(jī)波動(dòng)率模型，用來描述衍生品市場的波動(dòng)率微笑。SABR這個(gè)詞是stochastic， alpha， beta， rho的縮寫，代表了模型的參數(shù)。

這個(gè)模型通過逼近的方式，避免了數(shù)值計(jì)算的過程，并且可以得到很高的精度。雖然逼近的方法在金融領(lǐng)域中曾經(jīng)使用過（比如交易成本的建模），但這是第一次在主流的AQF量化金融領(lǐng)域里面使用。