本文為量化FAQs系列-第 2 篇

　　問題：How is risk defined in mathematical terms?

　　作者：Pual Wilmott

　　問:如何量化風(fēng)險(xiǎn)?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義風(fēng)險(xiǎn)?

　　簡(jiǎn)答：

　　量化金融分析師AQF丨在外行人的眼里，風(fēng)險(xiǎn)是指損害或損失的可能性。在金融中，風(fēng)險(xiǎn)指與投資相關(guān)的貨幣上的損失。最常見的風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)為組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差越大，組合收益的隨機(jī)性越大。

　　詳解：

　　現(xiàn)實(shí)根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源，金融風(fēng)險(xiǎn)可以分為：

　　市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：由行情波動(dòng)帶來(lái)的損失可能性。

　　信用風(fēng)險(xiǎn)：不履行財(cái)務(wù)償還等義務(wù)

　　模型風(fēng)險(xiǎn)：由數(shù)學(xué)模型中的錯(cuò)誤帶來(lái)的損失可能性，通常發(fā)生在結(jié)構(gòu)復(fù)雜的衍生品市場(chǎng)。

　　操作風(fēng)險(xiǎn)：由人為的過失或失職帶來(lái)的損失可能性。

　　法律風(fēng)險(xiǎn)：由法律訴訟等帶來(lái)的損失可能性。

　　在解釋“如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言量化表示風(fēng)險(xiǎn)”這一問題之前，我們需要明白：1)不同風(fēng)險(xiǎn)間的區(qū)別;2)隨機(jī)性和不確定性。

　　衡量風(fēng)險(xiǎn)大小時(shí)我們通常會(huì)使用概率的概念，但這之前，需要知道投資中隨機(jī)變量的分布，即概率分布函數(shù)。如，當(dāng)有足夠多的數(shù)據(jù)和足夠好的模型時(shí)，研究人員對(duì)收益率的分布有較好的描述。然而，沒有數(shù)據(jù)，或研究人員對(duì)現(xiàn)實(shí)不了解時(shí)，概率可能完全不解決問題。典型的例子是當(dāng)我們研究極少發(fā)生的事件，或是此前從未發(fā)生的事件時(shí)概率的失效。例如，我們可能對(duì)外星人闖地球后的結(jié)果有諸多詳盡猜想，但是，這一事件發(fā)生的概率是多少呢?“不知道”。當(dāng)人們對(duì)概率一無(wú)所知時(shí)，就出現(xiàn)了所謂Knight(1921年)所說(shuō)的：“不確定性”

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　　Knight(1921年)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的“隨機(jī)性和不確定性”進(jìn)行了詳細(xì)描述，厘清如下：

　　For ‘risk’ the probabilities that specified events will occur in the future are measurable and known, i.e. there is randomness but with a known probability distribution.

　　This can be further divided.

　　(a) a priori risk, such as the outcome of the roll of a fair die

　　(b) estimable risk, where the probabilities can be estimated through statistical analysis of the past, for example, the probability of a one-day fall of 10% in the

　　S&P index

　　With ‘uncertainty’ the probabilities of future events cannot be estimated or calculated.

　　在金融中，研究人員傾向于討論第一種情況，也就是用概率論估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，并且用統(tǒng)計(jì)和概率的方法量化風(fēng)險(xiǎn)的各個(gè)方面。在一些模型中，我們會(huì)討論第二種情況——“不確定性”。例如，Avellaneda等人(1995)對(duì)不確定的波動(dòng)率的論述，即，波動(dòng)率是不確定的，屬于某個(gè)既定區(qū)間，并且波動(dòng)率的分布也沒有給定。現(xiàn)在，問題變成了一個(gè)極端的問題。因此，不確定性和壓力測(cè)試問題更為接近。崩盤度量術(shù)(CrashMetrics)是另一個(gè)極端的、不確定問題。

　　數(shù)學(xué)上對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)定義的起點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)差。這背后是有理可依的：中心極限定理(Central Limit Theorem，CLT)，指當(dāng)有大量的投資樣本，并滿足一些統(tǒng)計(jì)上的性質(zhì)，那么投資組合的收益率為正態(tài)分布：關(guān)于平均值對(duì)稱，并且可以利用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算潛在損失。

　　上述方法當(dāng)且僅當(dāng)CLT滿足時(shí)才是有意義的。若只有很少的投資樣本，或者說(shuō)各個(gè)投資樣本之間是相關(guān)的，或者方差是無(wú)限的等待，那么標(biāo)準(zhǔn)差大概不合適。

　　另一個(gè)關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)定義是半方差(semivariance)，在計(jì)算中，只有向下的偏離才會(huì)被使用(損失)，例如Sortino比率。

　　Artzner(1997)提出了風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)有意義的一系列性質(zhì)，滿足這一系列性質(zhì)的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)被稱為“一致的”，即為一致風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度(coherent risk measure)。

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