文章簡介
問題：What are the different types of mathematics found in quantitative finance?
作者：Pual Wilmott
問：量化金融分析師AQF丨量化金融中有哪些數(shù)學知識?
簡答：數(shù)量金融中最常見的數(shù)學是概率論和微分方程。此外，當我們產(chǎn)生數(shù)時通常需要用到數(shù)值方法。舉例：期權(quán)定價的經(jīng)典模型可以被寫成偏微分方程，與此同時，以期望的角度去看，也有概率論上的釋義。
詳解：現(xiàn)實應(yīng)用中，數(shù)量金融也使用了很多數(shù)學的分支。很多金融模型可以用各種各樣的方式實現(xiàn)。
出于某些原因，不同分支的數(shù)學的倡議者在討論他們及對手的方法論時相當?shù)拿舾小１热绯３幸韵聽幾h：這是不同數(shù)學領(lǐng)域中的特殊問題嗎?鞅和微分方程的優(yōu)劣有哪些?后文中嘗試從建模方法及現(xiàn)實中有用的工具兩個維度對量化金融中的數(shù)學知識進行介紹。
一、以下是常用的建模方法及其簡單說明：
1. 概率論的方法
金融市場的主要假設(shè)之一是資產(chǎn)的價格產(chǎn)生機制是隨機的。我們試圖認為價格變量服從某個隨機路線，并且設(shè)定資產(chǎn)價格變量的增長速度以及它的隨機程度的參數(shù)。通過一個確定的平均增長速率，以及一個從平均水平上的偏離來有效地對資產(chǎn)價格的路徑進行建模。這個建模方法在過去的30年有巨大的影響，并引領(lǐng)了衍生品市場的一個爆炸式增長。
2. 決定論的方法
這個方法后的思想是模型會告訴我們關(guān)于未來的一切。給定足夠的數(shù)據(jù)和算力，我們可寫下可預(yù)測未來的等式或算法。
有趣的是，動力系統(tǒng)和混沌理論的研究歸屬于這個分類。混沌理論指出，在實際中根據(jù)不同的初始狀態(tài)提出不同的預(yù)測是不可能的。典型的例子是蝴蝶效應(yīng)：在巴西某地的一只蝴蝶扇動翅膀?qū)е侣鼜厮固氐慕涤辍Ｔ囅?，相去甚遠的這兩個事件都存在著某種聯(lián)系，那么又有哪兩個事件不存在聯(lián)系呢?該話題在1990年代盛行，但金融世界沒有達到該理論的前提條件，因此這方面的發(fā)展較少。
3. 離散方法：差分方程
4. 連續(xù)方法：微分方程
無論是概率論還是決定論，最終你寫下的模型或是離散或是連續(xù)，二者之一。離散意味著資產(chǎn)的價格或者時間只能增加有限的量，比如說一美元、一美分，或者是一年、一天。連續(xù)意味著不存在這樣的增量下限。數(shù)學中，連續(xù)過程往往比離散過程容易得多，但是當提到數(shù)值計算時，你將須把連續(xù)模型轉(zhuǎn)變成離散模型。
離散模型我們通常使用差分方程。一個例子：期權(quán)定價時的二叉樹模型，再比如：時間以有限的增量前進，即時間上的步長。在連續(xù)模型中，我們通常使用微分方程。與離散方式下的二叉樹模型相對的是Black–Scholes模型，設(shè)定了連續(xù)的資產(chǎn)價格和連續(xù)的時間。無論是二叉樹模型還是Black–Scholes模型，都來自于對現(xiàn)實金融世界的概率假設(shè)。
二、以下是在現(xiàn)實中有用的工具及其簡單說明：
1. 數(shù)值模擬
如果金融世界是隨機的，那么我們能通過模擬試驗來描述未來的情況。比如，資產(chǎn)價格可以通過其平均增長率和風險來描述。當我們進行模擬時，我們會進行大量次數(shù)的模擬，且愿意看到足夠多可能的未來的情境。
模擬也可以用于非概率問題。僅由于數(shù)學等式間的相似性，由決定論方法推出的模型可能有概率意義上的解釋。
2. 離散化方法
模擬方法的補充方法，并且有很多種類型。最著名的比如有限差分法。在實際數(shù)值計算過程中，通常都會把解決的問題化簡為模擬問題或有限差分問題。
3. 近似
在建模過程中我們通常想要提出一個有意義的解，比如說期權(quán)的價格。事實上，除非模型非常簡單，我們得到這個解不那么容易，這就是“近似”理論的作用所在。一個復雜的模型往往有近似解，并足夠滿足我們的目的。
4. 漸近分析
在大多數(shù)應(yīng)用數(shù)學中都有其身影且是非常有用的理論，但近些年來才在金融中得到應(yīng)用。背后的思想是：通過不斷嘗試或大或小的參數(shù)和變量，最終找到復雜問題的近似解。如，對vanilla期權(quán)臨近到期時的價值做近似。
5. 級數(shù)解
如果等式是線性的，那么你可能可以通過加總其它問題的解來解決一個特殊問題。級數(shù)解是指，將解分解成簡單方程的加總，比如sin、cos，冪級數(shù)等。比如，障礙期權(quán)有兩個障礙，一個在當前資產(chǎn)價格之下，另一個在當前資產(chǎn)價格之上。
6. 格林函數(shù)
一個只在特殊情境中會使用的特殊技巧。背后的思想是，對一個困難問題的解可以從相似問題的特殊解中建立。
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