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　　AQF量化金融簡(jiǎn)史—1827年蘇格拉生物學(xué)家Robert Brown用他自己的名字命名了微小粒子在液體中自由運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象：布朗運(yùn)動(dòng)。這種“隨機(jī)游走”的理念后來貫穿于許多科學(xué)領(lǐng)域，尤其是普遍運(yùn)用于各種不可預(yù)測(cè)的連續(xù)時(shí)間過程的機(jī)制，基于布朗運(yùn)動(dòng)的對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走理論也是金融市場(chǎng)的經(jīng)典框架，為之后的量化金融的蓬勃發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

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　　量化開拓者

　　Louis Bachelier是第一個(gè)量化描述布朗運(yùn)動(dòng)的人。他在1900年的論文中提出，影響股票價(jià)格漲跌的原因是無窮無盡的，無法用概率論模型來動(dòng)態(tài)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，這也不是一項(xiàng)精確意義上的科學(xué);但是在市場(chǎng)的某一個(gè)靜態(tài)的時(shí)刻，可以建立數(shù)學(xué)模型來分析市場(chǎng)漲跌的概率的大小，這就是隨機(jī)游走的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。他的模型為后來的研究工作提供了大量的參考，例如股票價(jià)格模型、期權(quán)定價(jià)模型等，但遺憾的是在他的有生之年都沒有引起業(yè)界的重視，它的價(jià)值直到幾十年后才被后人發(fā)現(xiàn)。

　　擴(kuò)散方程

　　許多期權(quán)相關(guān)的模型最終歸結(jié)于一個(gè)擴(kuò)散方程，這是一個(gè)偏微分方程，一般通過數(shù)值方法計(jì)算。主流的兩種方法是模特卡羅法和有限差分(一個(gè)更為復(fù)雜的二叉樹模型)。

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　　有限差分方法最初由LewisFry Richardson在1911年提出，他將微分方程離散成了差分方程，用來解決天氣預(yù)測(cè)中擴(kuò)散方程問題。Richardson后來從事戰(zhàn)爭(zhēng)原因數(shù)學(xué)模型的研究。

　　維納過程

　　1923年，NorbertWiener為布朗運(yùn)動(dòng)建立了一套嚴(yán)格的理論體系，這也是之后幾十年的量化金融的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在數(shù)理類學(xué)術(shù)論文中被大量引用。

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　　在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維納過程在連續(xù)鞅以及連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程、擴(kuò)散過程、位勢(shì)論中發(fā)揮重要作用;在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維納過程用來代表白噪聲高斯過程的積分，是信號(hào)處理、控制理論的重要模型;在物理學(xué)、量子力學(xué)方面，維納過程也有廣泛的運(yùn)用;在數(shù)量金融領(lǐng)域，它是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。

　　數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

　　說到20世紀(jì)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，美國人Paul Samuelson算是最有影響力的之一，他建立了經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的科學(xué)分析體系，被稱為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)之父，也是第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的美國人。Samuelson建立了宏觀和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)量化體系，代表的研究成果包括消費(fèi)理論中的功效函數(shù)、福利經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的Lindahl–Bowen–Samuelson條件、資本市場(chǎng)理論中的隧道理論、金融市場(chǎng)中的有效市場(chǎng)假說、公共金融學(xué)中的較優(yōu)化配置、國際金融學(xué)中的Balassa–Samuelson效應(yīng)和Heckscher–Ohlin 模型等。

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　　Samuelson重新發(fā)現(xiàn)了Bachelier的研究論文，為后來的期權(quán)定價(jià)理論打下了基礎(chǔ)。他的衍生品定價(jià)理論是基于數(shù)學(xué)期望的，這和之后的風(fēng)險(xiǎn)中性理論有很大的差別。Samuelson從哈佛大學(xué)拿到了經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，并在25歲的時(shí)候成為MIT的助理教授，該校的經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)也在他的帶領(lǐng)下成為世界經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的翹楚。他的學(xué)生Robert M. Solow，F(xiàn)ranco Modigliani，Robert C. Merton，Joseph E. Stiglitz 和Paul Krugman，也都獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

　　伊藤引理

　　很難想象如果金融學(xué)領(lǐng)域沒有了隨機(jī)過程或者伊藤微積分會(huì)是怎樣的，有些人甚至認(rèn)為金融學(xué)就是伊藤微積分。KiyosiIto證明了獨(dú)立變量隨機(jī)微分方程和該變量函數(shù)的隨機(jī)微分方程之間的關(guān)聯(lián)，其中一個(gè)經(jīng)典的衍生品定價(jià)理論就是資產(chǎn)價(jià)格演變的對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)微分方程，伊藤引理告訴我們了該資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)微分方程。

　　簡(jiǎn)單地說，如果有一個(gè)維納過程X和一個(gè)均值為0、方差為dt的正態(tài)分布的增量dX，那么增量的函數(shù)F(X)可以用泰勒二階展開表示為：

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　　數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)格一些的表達(dá)方式為：

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　　現(xiàn)代組合理論

　　1952年，HarryMarkowitz第一個(gè)提出了投資組合理論的量化模型，這是一個(gè)非常優(yōu)雅的理論，創(chuàng)新性地給出了有效市場(chǎng)組合的概念，同時(shí)對(duì)資產(chǎn)的波動(dòng)性和相關(guān)性的意義做了描述。Markowitz認(rèn)為資產(chǎn)組合可以獲得比單個(gè)資產(chǎn)更好的表現(xiàn)，對(duì)于這個(gè)“更好”，是基于預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)方差的量化指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差被用來解釋風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于任何一個(gè)資產(chǎn)組合，在特定風(fēng)險(xiǎn)的條件下，都可以獲得一個(gè)較優(yōu)的收益，這個(gè)組合的位置連成的曲線稱為“有效前沿”，曲線上的每個(gè)點(diǎn)都是一個(gè)有效組合。

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　　Markowitz因?yàn)檫@項(xiàng)研究成果獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，但實(shí)際過程中卻很少使用這個(gè)理論，原因是這個(gè)模型做了很多在理想狀況下，而市場(chǎng)中卻不存在的假設(shè);同時(shí)模型的一些參數(shù)，例如波動(dòng)性、相關(guān)性都不容易衡量，但計(jì)算的結(jié)果對(duì)這些參數(shù)又十分敏感，從而導(dǎo)致模型的不穩(wěn)定性。

　　資本資產(chǎn)定價(jià)模型

　　1963年，斯坦福大學(xué)的William Sharpe，哈佛大學(xué)的JohnLintner和挪威的經(jīng)濟(jì)學(xué)家Jan Mossin在Markowitz現(xiàn)在投資組合理論的基礎(chǔ)之上，用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，即資本資產(chǎn)定價(jià)模型(Capital Asset Pricing Model)。這個(gè)模型將資產(chǎn)收益對(duì)市場(chǎng)變化的敏感性用β來表示，同時(shí)將無風(fēng)險(xiǎn)收益率考慮在內(nèi)，得出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率。

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　　CAPM考慮一種特殊形式的功效函數(shù)，只包含了收益率的一階矩和二階矩，換句話說就是收益率的分布僅僅由均值和方差決定。在這些條件下，CAPM認(rèn)為權(quán)益的成本僅僅由β決定。和現(xiàn)代組合理論類似，CAPM也有一系列過于理想化的假設(shè)，導(dǎo)致模型在實(shí)證分析中效果不佳。不過盡管之后出現(xiàn)了套利定價(jià)理論等更為復(fù)雜精確的模型，CAPM由于它的簡(jiǎn)單易用，直到現(xiàn)在依然很受歡迎。

　　有效市場(chǎng)假說

　　1965年，芝加哥大學(xué)的經(jīng)濟(jì)金融學(xué)博士Fama在他的博士論文中分析了股票價(jià)格變動(dòng)的行為，并得出結(jié)論：短期的股票價(jià)格不可預(yù)測(cè)，近似于隨機(jī)游走。股票市場(chǎng)收益是厚尾分布，這意味著一些極端情況的出現(xiàn)相比于正態(tài)分布假設(shè)下出現(xiàn)的頻率更高。

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　　1970年，F(xiàn)ama提出了有效市場(chǎng)的理論，主要分為兩大部分：一是將市場(chǎng)的有效性分為三種情況：強(qiáng)勢(shì)有效、半強(qiáng)勢(shì)有效和弱勢(shì)有效，解釋了在不同的市場(chǎng)有效性的情況下，公開信息是如何反應(yīng)到股票價(jià)格中;二是認(rèn)為在無法否定市場(chǎng)平衡的情況下，市場(chǎng)的有效性也無法被拒絕。這個(gè)概念稱為“聯(lián)合假設(shè)問題”，意思是市場(chǎng)有效性需要由預(yù)期收益來進(jìn)行驗(yàn)證，但是往往預(yù)期收益和實(shí)際收益的偏差很大，因此我們無法證明市場(chǎng)是非有效的，研究者只能不斷通過修改模型來減少市場(chǎng)偏差。

　　Fama的另一個(gè)貢獻(xiàn)就是他的三因子模型。在資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)等傳統(tǒng)理論下，投資組合的全部風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)由Beta系數(shù)表示。但是這一模型在解釋股票市場(chǎng)回報(bào)的現(xiàn)實(shí)情況上，如一月效應(yīng)，遇到了諸多挑戰(zhàn)。Fama和French觀察發(fā)現(xiàn)市值較小、市值賬面比較低的兩類公司更有可能取得優(yōu)于市場(chǎng)水平的平均回報(bào)率。由此三因子模型通過引入二個(gè)新的解釋變量：市凈率、公司規(guī)模、與CAPM中的市場(chǎng)指數(shù)一同估計(jì)股票的回報(bào)水平。

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　　其中r是投資組合的期望收益率，Rf是市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)收益率，Rm是市場(chǎng)組合的收益率，三個(gè)變量的待估系數(shù)beta是市場(chǎng)組合風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、規(guī)模溢價(jià)、市凈率溢價(jià)三個(gè)因素變化對(duì)期望收益率的影響，其中市場(chǎng)組合風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的系數(shù)beta概念接近于CAPM模型中的beta系數(shù)，公司規(guī)模變量SMB是指由市值小的公司組成的投資組合回報(bào)與市值大的公司組成的投資組合回報(bào)之差，市凈率溢價(jià)HML是賬面價(jià)值比較高的公司組成的投資組合回報(bào)與比值較低的公司投資組合回報(bào)之差。alpha是超額收益率，在理想的情況下，投資組合的超額回報(bào)將全部被三因素解釋，從而alpha應(yīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上等于0。

　　準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)

　　1960年代中期，許多學(xué)者開始致力于準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)理論，或者稱為低偏差序列理論的研究。這個(gè)課題關(guān)心的是一系列點(diǎn)在任意維度的分布情況，以盡可能少量的點(diǎn)最大程度覆蓋整個(gè)空間。粗略來講，如果一個(gè)序列中隨機(jī)取出一部分點(diǎn)組成集合B并且和B的測(cè)度接近，多次試驗(yàn)取平均值的情況下，可以認(rèn)為序列的偏差較低。低偏差序列并不是隨機(jī)，也不是偽隨機(jī)，它通常用來代替隨機(jī)均勻分布序列，它通常具有隨機(jī)數(shù)的一些性質(zhì)，因此在多個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮重要運(yùn)用。

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　　相比于純隨機(jī)數(shù)，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)可以更快速地解決一些問題。確定性的方法一般只有在所有數(shù)據(jù)都完備的時(shí)候，給出一個(gè)精確解;而準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)可以隨著數(shù)據(jù)的增加不斷地迭代計(jì)算，使得結(jié)果越來越接近精確值。概率論中，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)可以用來發(fā)現(xiàn)特征函數(shù)和概率密度函數(shù)，以及確定性的函數(shù)在微小擾動(dòng)情況下的導(dǎo)函數(shù)，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)還可以準(zhǔn)確快速地計(jì)算高階矩。

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　　此外，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)還可以用于：對(duì)于一些不涉及排序的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如均值、方差、偏度等;復(fù)雜的確定性函數(shù)的積分、全局最值的計(jì)算;一些局部確定性算法的起點(diǎn)，如Newton–Raphson迭代;以及一些搜索算法。這一數(shù)學(xué)工具的發(fā)展，推動(dòng)了多元積分、蒙特卡洛方法，數(shù)值積分的運(yùn)用，對(duì)金融領(lǐng)域之后三十年的發(fā)展起到了重大作用。

　　賭場(chǎng)中的概率論

　　Ed Thorp，一位美國數(shù)學(xué)教授、對(duì)沖基金經(jīng)理、和21點(diǎn)玩家，是近代概率論的先驅(qū)。他的第一次名聲大噪是他發(fā)現(xiàn)了在賭場(chǎng)中取得21點(diǎn)游戲勝利的方法，在數(shù)學(xué)上證明了算牌法可以克服賭場(chǎng)優(yōu)勢(shì)，并寫成了一本暢銷書“Beat the Dealer”，這本書甚至使拉斯維加斯的賭場(chǎng)改變?cè)械囊?guī)則。

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　　另一方面，Thorp和ClaudeS hannon，一位信息學(xué)家，一起發(fā)明了世界的第一臺(tái)可穿戴電腦，因此也被稱為“可穿戴電腦之父”。1960年代，Thorp利用他在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)尋找證券市場(chǎng)上的錯(cuò)誤定價(jià)，建立了第一支基于純量化金融的對(duì)沖基金Princeton/Newport Partners，并因此賺取了大量財(cái)富。

　　期權(quán)定價(jià)

　　1973年，三位經(jīng)濟(jì)學(xué)家Fischer Black，Myron Scholes 和Robert Merton給出了歐式期權(quán)定價(jià)的公式，此公式問世后帶來了期權(quán)市場(chǎng)的繁榮。該公式被廣泛使用，雖然在很多情況下被使用者進(jìn)行一定的改動(dòng)和修正。很多經(jīng)驗(yàn)測(cè)試表明這個(gè)公式足夠貼近市場(chǎng)價(jià)格，然而也有會(huì)出現(xiàn)差異的時(shí)候，如著名的“波動(dòng)率的微笑”。模型的基本原理是上文所述的幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

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　　以及如下的前提假設(shè)條件：

　　1.金融資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而金融資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布;

　　2.在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的;

　　3.市場(chǎng)無摩擦，即不存在稅收和交易成本;

　　4.金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得(該假設(shè)后被放棄);

　　5.該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施。

　　從而推導(dǎo)出歐式期權(quán)價(jià)格的偏微分方程：

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　　求解這個(gè)方程得到歐式期權(quán)價(jià)格的表達(dá)式：

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　　公司債務(wù)風(fēng)險(xiǎn)

　　1974年，Robert Merton從看漲期權(quán)的角度來對(duì)公司價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化建模，公司的債務(wù)關(guān)聯(lián)到期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，債務(wù)的期限則對(duì)應(yīng)期權(quán)的到期日。如果某一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值為0，則說明資產(chǎn)價(jià)值小于債務(wù)，導(dǎo)致公司破產(chǎn)。

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　　信用風(fēng)險(xiǎn)在90年代初迅速增加，關(guān)于這方面的理論和實(shí)踐運(yùn)用也在快速擴(kuò)張，這導(dǎo)致了一些巨大的事件的發(fā)生，比如Merton所在的長(zhǎng)期資本管理公司的破產(chǎn)。目前關(guān)于信用風(fēng)險(xiǎn)的理論基于Merton的模型已經(jīng)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，引入了事件隨機(jī)發(fā)生的泊松過程，比如破產(chǎn)或者違約，已有許多研究成果。

　　蒙特卡羅法

　　1977年，愛爾蘭的經(jīng)濟(jì)學(xué)家Phelim Boyle通過大量地模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)未來的收益，并取平均值，以此對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，這就是蒙特卡羅方法，也是期權(quán)定價(jià)的第三種方法(另外兩種分別是BSM模型和二叉樹)。這種方法相對(duì)比較容易實(shí)現(xiàn)，并且使用靈活，在一切特定的情況下，比如股票價(jià)格發(fā)生突變，蒙特卡羅法定價(jià)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

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