量化投資摘要：Betting Against Beta 這篇構(gòu)筑在 Black CAPM 模型上的實證資產(chǎn)定價文章是 AQR 最著名的代表作之一。然而，有人對它提出了強烈的質(zhì)疑。

　　作者：石川，北京量信投資管理有限公司創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士;精通各種概率模型和統(tǒng)計方法，擅長不確定性隨機(jī)系統(tǒng)的建模及優(yōu)化。知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。

　　摘要：Betting Against Beta 這篇構(gòu)筑在 Black CAPM 模型上的實證資產(chǎn)定價文章是 AQR 最著名的代表作之一。然而，有人對它提出了強烈的質(zhì)疑。

　　1、Black CAPM 模型

　　1972 年，F(xiàn)ischer Black、Michael Jensen 和 Myron Scholes 從實際市場數(shù)據(jù)中觀察到股票收益率和它們的 β 畫出來的證券市場線(SML)遠(yuǎn)比 CAPM 預(yù)測的要更平緩，這說明風(fēng)險和收益的關(guān)系不能很好的滿足 CAPM。Black et al. (1972) 從時間序列回歸和截面回歸兩個維度實證了上述猜想，并提出了新的 CAPM 模型。

　　Black et al. (1972) 按照股票的 β 大小把股票分成十組(第一組中 β最大)，然后在時序上回歸(檢驗時考慮了各種偏差和誤差的影響)，得到了如下結(jié)果。按照 CAPM，回歸的截距項(即 α)應(yīng)該為 0，然而Black et al. (1972) 觀察到在不同的歷史時期，α 顯著不為 0 且和 β 呈負(fù)相關(guān) —— 高 β 的股票往往有負(fù) α。

　　

　　觀察到實際數(shù)據(jù)和 CAPM 之間的背離，Black et al. (1972) 拋棄了 CAPM 中的無風(fēng)險利率并提出了一個雙因子模型：

　　

　　上式中小寫字母 r 表示股票或者組合的絕對收益。由于第二個因子 r_z 和 β 有關(guān)，因此它被稱為 β 因子。由于 r_z和r_m 的協(xié)方差為零，r_z 代表著一個 β 中性組合的收益率。這個改進(jìn)的 CAPM 模型被后人稱為 Black CAPM 模型(或 zero-beta CAPM 模型)，它比最初的 CAPM 更加符合實際數(shù)據(jù)，因此應(yīng)用更加廣泛。

　　2、Betting Against Beta

　　在 Black CAPM 被提出的 40 年之后，來自 AQR 的 Andrea Frazzini 和 Lass Heje Pedersen 在 Journal of Financial Economics 上發(fā)表了一篇題為 Betting Against Beta 的文章(Frazzini and Pedersen 2014，下稱 FP)，從另外的角度解釋了 α 和 β 之間的負(fù)相關(guān)。他們指出在實際投資中，不同的投資者受到不同資金使用的限制。為了追求更高的收益，一些投資者(特別是機(jī)構(gòu))會把有限的資金投資于高風(fēng)險的投資品，比如高 β 的股票，這便造成了它們 α 的下降。FP 用 ψ 來表示資金限制強弱程度，并得出 α 和 β 的關(guān)系如下：

　　

　　Frazzini and Pedersen (2014) 在不同的市場中(包括股票、商品、債券、外匯)實證了他們的模型。下圖顯示了在美國股票和全球股票市場中，按照 β 的高低將股票分成十檔，每一檔的超額收益(超額收益是總收益減去一些常見因子能夠解釋的部分)。他們針對這個現(xiàn)象提出了 Betting Against Beta 策略(下稱 BAB)、構(gòu)建投資組合、賺取其他因子無法解釋的超額收益。

　　

　　由于低 Beta 作為一個因子早已深入人心，Betting Against Beta 一經(jīng)發(fā)表，便在學(xué)術(shù)界和業(yè)界產(chǎn)生了巨大的反響。自 2014 年以來，它的被引用量在所有 Journal of Financial Economics 的文章中高居第二位，僅僅次于排名第一的 Fama-French 五因子模型。而在業(yè)界，它成為防御型投資策略當(dāng)仁不讓的杰出代表，得到了大量機(jī)構(gòu)投資者的追捧。

　　

　　3、Betting Against

　　Betting Against Beta

　　正所謂“人紅是非多”，面對 BAB 因子在紙面上(on paper)獲得的非凡超額收益，有人就提出了尖銳的質(zhì)疑。2018 年，Robert Novy-Marx 和 Mihail Velikov 撰寫了一篇題為 Betting Against Betting Against Beta (BABAB)的文章(Novy-Marx and Velikov 2018)，指出 FP 在構(gòu)建 BAB 因子時有三個地方“不走尋常路”，從而導(dǎo)致了其 on paper 的超高收益，而這些收益在實際投資中無法兌現(xiàn)。這三個地方是：

　　1. 在構(gòu)建多空投資組合計算 BAB 收益率時，F(xiàn)P 使用了 rank-weighted(即按排名作為權(quán)重)，而非主流的按市值加權(quán)的做法。Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，rank-weighted 的效果和等權(quán)重組合十分接近，因此該組合在小市值因子上有暴露。由于小市值在美股長期有效，它對 BAB 的收益率產(chǎn)生了正貢獻(xiàn)。

　　2. 在構(gòu)建策略時，為了獲得 β 中性的組合，F(xiàn)P 在對沖時采用了杠桿(hedging by leveraging)。這使得該組合過分的暴露在微小市值和超小市值的股票中，以此獲得的超高收益率是在實際中無法實現(xiàn)的。

　　3. 在計算個股 β 時，F(xiàn)P 使用了不同的時間窗口計算波動率和相關(guān)系數(shù)。這種非主流的做法佐證了 BAB 一文中提出的“betas of securities in the cross section are compressed toward one when funding liquidity risk is high”這個觀點。Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，這是由于 FP 計算 β 的方法天然有偏造成的;一旦修正了這個偏差，上述觀點并不成立。由于 BAB 這篇文章連接 α 和 β 之間負(fù)相關(guān)的出發(fā)點是投資者的 funding liquidity risk，因此這一條直接挑戰(zhàn)了 FP 對 BAB 的解釋。

　　上述的第三方面 —— 計算 β 的方法 —— 對學(xué)術(shù)界的影響很大。自 BAB 發(fā)表之后，很多研究也采用同樣的思路計算 β 值。在該方法中，F(xiàn)P 使用一年滾動窗口計算市場和個股收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，而采用五年滾窗口計算二者之間的相關(guān)系數(shù);FP 指出這么做的原因是，相對于波動率，相關(guān)系數(shù)的變化更加緩慢。

　　當(dāng)采用傳統(tǒng)方法計算 β 時，相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差采用的是同樣長度的時間窗口。通過簡單的運算，不難看出 FP 計算的 β 值(記為 β_FP)和傳統(tǒng) β 值的關(guān)系：

　　

　　上式中，ρ 表示相關(guān)系數(shù)，σ 代表標(biāo)準(zhǔn)差，上標(biāo) i 代表個股 i，mkt 代表市場，下標(biāo) 1 和 5 分別代表一年和五年的滾動窗口。該關(guān)系式說明，采用 FP 方法計算出的 β 等價于傳統(tǒng)方法計算的 β 乘以一個系數(shù);該系數(shù)是個股一年波動率和五年波動率的之比和市場一年波動率和五年波動率之比的相對大小。

　　Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，該系數(shù)對 β_FP 的計算在時序上有很大的影響：當(dāng)市場自身處于高波動時，個股雖然也是高波動，但是實證數(shù)據(jù)表明個股的 σ_1/σ_5 和市場的 σ_1/σ_5 之間的彈性小于 1，因此該系數(shù)小于 1;與之相反的，當(dāng)市場自身處于低波動時，二者之間的彈性大于 1。這說明當(dāng)市場處于高波動時，使用 FP 方法計算的個股 β 比傳統(tǒng)方法計算的 β 更低;而當(dāng)市場處于低波動時，使用 FP 方法得到的 β 比傳統(tǒng)方法得到的 β 更高。這進(jìn)一步造成，將 β_FP 按照個股市值加權(quán)后，得到的市場的 β 并不等于 1。

　　下一節(jié)使用 A 股數(shù)據(jù)對此上述結(jié)論進(jìn)行簡單實證。

　　4、簡單實證

　　實證中選擇的時間區(qū)間為 2010 年 1 月 1 日到 2019 年 2 月 28 日。為了簡化實證，我從上證指數(shù)中選出了 830 支在整個范圍內(nèi)均有交易數(shù)據(jù)的個股(以此排除上市、退市等的影響)。使用個股的收益率和市值即可以構(gòu)建出這 830 支股票對應(yīng)的“市場”的收益率時間序列，從而計算個股的 β。

　　由于數(shù)據(jù)不足 10 年，因此實證中并沒有采用 FP 中的一年和五年時間窗口，而是使用半年和兩年為窗口分別計算標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)。首先來看看個股的 σ_S/σ_L 和市場的 σ_S/σ_L 之間的關(guān)系(其中 S 代表半年的短窗口、L 代表兩年的長窗口)。下圖中，藍(lán)色實線是個股 σ_S/σ_L 中位數(shù)、陰影區(qū)域為 5% 到 95% 分位數(shù);黃色曲線是市場 σ_S/σ_L。不難看出，當(dāng)市場 σ_S/σ_L 較大時(意味著市場處于高波動)，大部分個股的 σ_S/σ_L 在黃色曲線之下;而當(dāng)市場 σ_S/σ_L 較小時(意味著市場處于低波動)，大部分個股的 σ_S/σ_L 在黃色曲線之上。這個結(jié)果和 Novy-Marx and Velikov (2018) 針對美股的實證結(jié)果相同。

　　

　　再來看看市值加權(quán)的 β_FP 得到的市場 β 如何隨時間變化。理論上，當(dāng)采用了正確的方法計算個股的 β 后，市場的 β 應(yīng)該等于 1。

　　下圖中，藍(lán)色曲線是通過傳統(tǒng)方法 —— 即使用兩年窗口計算標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù) —— 得到的個股 β 后再通過市值加權(quán)得到的市場 β，它的取值基本上沒有偏離 1.0;而黃色曲線為使用個股 β_FP 得到的市場 β，它在大多數(shù)時間顯著的偏離 1.0。

　　

　　從個股 σ_S/σ_L 和市場 σ_S/σ_L 的關(guān)系出發(fā)可知：當(dāng)市場處于高波動時，β_FP 小于傳統(tǒng)方法計算出的 β;當(dāng)市場處于低波動時，β_FP 大于傳統(tǒng)方法計算出的 β。因此，我們預(yù)期使用 β_FP 得到的市場 β 和市場 σ_S/σ_L 的取值在時序上呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)。下圖證實了這種猜想。

　　

　　以上實證結(jié)果說明，使用 FP 方法和使用傳統(tǒng)方法得到的個股 β 有很大差異。這會造成以該 β 值作為因子來選股出現(xiàn)不同的結(jié)果。由于計算 β 需要至少兩年的數(shù)據(jù)，因此下面來考察從 2012 年到 2019 年上述兩種不同 β 計算方法的選股結(jié)果。

　　下圖顯示，使用 β_FP 戰(zhàn)勝了傳統(tǒng) β：β_FP 因子獲得年化收益率 9.27%、夏普率 0.59;而傳統(tǒng) β 因子僅獲得年化收益率 5.08% 和夏普率 0.40。

　　

　　不過，先別著急下結(jié)論!我并沒有說明因子投資組合是如何構(gòu)建的。

　　該因子投資組合是按照 β 從小到大排序，首尾各取 100 支等權(quán)配置，每月末調(diào)倉。等權(quán)配置增加了在小市值上的暴露;如果按照市值加權(quán)構(gòu)建投資組合會如何呢?下圖給出了實證結(jié)果：β_FP 因子獲得年化收益率 0.65%、夏普率 0.18;而傳統(tǒng) β 因子獲得年化收益率 0.56% 和夏普率 0.25。當(dāng)排除了小市值影響后，傳統(tǒng) β 因子戰(zhàn)勝了 β_FP 因子。這個結(jié)果和 Novy-Marx and Velikov (2018) 對 BAB 的第一條質(zhì)疑相一致。

　　

　　最后想指出的是，上述結(jié)果僅僅是對 BAB 做的一點非常有限的實證，從該結(jié)果中我們還遠(yuǎn)不能得到任何確定性的結(jié)論。如何計算 β，這個最簡單的問題，似乎也并不是那么容易回答。

　　5、結(jié)語

　　大量的實證數(shù)據(jù)顯示，市場 β 和 α 確實存在負(fù)相關(guān);Fischer Black 40 年前的智慧也依舊閃亮。然而，Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，我們應(yīng)該時刻保持警惕，搞清楚使用“特殊”方法計算的因子、構(gòu)建的投資組合是否意外的暴露在別的地方并影響對因子有效與否的判斷。

　　最后再來自我檢討一下。我?guī)啄昵暗谝淮巫x BAB 的時候，就被里面計算 β 的方法深深說服，沒有努力去思考背后的邏輯是否成立。Novy-Marx and Velikov (2018) 的分析說明，即便 BAB 是來自研究能力超一流的 AQR、發(fā)表于金融領(lǐng)域頂刊之一的 JFE，我們也不應(yīng)該想當(dāng)然的拿來主義。

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　　Cliff Asness 對這篇文章的一句話點評是：

　　“Fischer Black was right about the security market line (among many other things).

　　”看完了 BABAB，我想：Fischer Black 的確是對的，但是 BAB 也許未必。Don’t get me wrong!我依然是 AQR 的忠實粉絲，也非常佩服他們的學(xué)術(shù)能力和分享意識，只不過正確的態(tài)度應(yīng)是時刻保持獨立思考，因為剖析一個因子成與敗背后的真正原因始終是我們自己的責(zé)任。

　　參考文獻(xiàn)

　　Black, F., M. C. Jensen and M. Scholes (1972). The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests. In Studies in the Theory of Capital Markets. M. C. Jensen (editor), New York: Praeger, 79 – 121.

　　Frazzini, A. and L. H. Pedersen (2014). Betting against beta. Journal of Financial Economics, Vol. 111(1), 1 – 25.

　　Novy-Marx, R. and M. Velikov (2018). Betting Against Betting Against Beta. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=3300965.

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