量化投資摘要：Betting Against Beta 這篇構(gòu)筑在 Black CAPM 模型上的實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)文章是 AQR 最著名的代表作之一。然而，有人對(duì)它提出了強(qiáng)烈的質(zhì)疑。

　　作者：石川，北京量信投資管理有限公司創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士;精通各種概率模型和統(tǒng)計(jì)方法，擅長(zhǎng)不確定性隨機(jī)系統(tǒng)的建模及優(yōu)化。知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。

　　摘要：Betting Against Beta 這篇構(gòu)筑在 Black CAPM 模型上的實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)文章是 AQR 最著名的代表作之一。然而，有人對(duì)它提出了強(qiáng)烈的質(zhì)疑。

　　1、Black CAPM 模型

　　1972 年，F(xiàn)ischer Black、Michael Jensen 和 Myron Scholes 從實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)中觀察到股票收益率和它們的 β 畫出來的證券市場(chǎng)線(SML)遠(yuǎn)比 CAPM 預(yù)測(cè)的要更平緩，這說明風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系不能很好的滿足 CAPM。Black et al. (1972) 從時(shí)間序列回歸和截面回歸兩個(gè)維度實(shí)證了上述猜想，并提出了新的 CAPM 模型。

　　Black et al. (1972) 按照股票的 β 大小把股票分成十組(第一組中 β最大)，然后在時(shí)序上回歸(檢驗(yàn)時(shí)考慮了各種偏差和誤差的影響)，得到了如下結(jié)果。按照 CAPM，回歸的截距項(xiàng)(即 α)應(yīng)該為 0，然而Black et al. (1972) 觀察到在不同的歷史時(shí)期，α 顯著不為 0 且和 β 呈負(fù)相關(guān) —— 高 β 的股票往往有負(fù) α。

　　

　　觀察到實(shí)際數(shù)據(jù)和 CAPM 之間的背離，Black et al. (1972) 拋棄了 CAPM 中的無風(fēng)險(xiǎn)利率并提出了一個(gè)雙因子模型：

　　

　　上式中小寫字母 r 表示股票或者組合的絕對(duì)收益。由于第二個(gè)因子 r_z 和 β 有關(guān)，因此它被稱為 β 因子。由于 r_z和r_m 的協(xié)方差為零，r_z 代表著一個(gè) β 中性組合的收益率。這個(gè)改進(jìn)的 CAPM 模型被后人稱為 Black CAPM 模型(或 zero-beta CAPM 模型)，它比最初的 CAPM 更加符合實(shí)際數(shù)據(jù)，因此應(yīng)用更加廣泛。

　　2、Betting Against Beta

　　在 Black CAPM 被提出的 40 年之后，來自 AQR 的 Andrea Frazzini 和 Lass Heje Pedersen 在 Journal of Financial Economics 上發(fā)表了一篇題為 Betting Against Beta 的文章(Frazzini and Pedersen 2014，下稱 FP)，從另外的角度解釋了 α 和 β 之間的負(fù)相關(guān)。他們指出在實(shí)際投資中，不同的投資者受到不同資金使用的限制。為了追求更高的收益，一些投資者(特別是機(jī)構(gòu))會(huì)把有限的資金投資于高風(fēng)險(xiǎn)的投資品，比如高 β 的股票，這便造成了它們 α 的下降。FP 用 ψ 來表示資金限制強(qiáng)弱程度，并得出 α 和 β 的關(guān)系如下：

　　

　　Frazzini and Pedersen (2014) 在不同的市場(chǎng)中(包括股票、商品、債券、外匯)實(shí)證了他們的模型。下圖顯示了在美國(guó)股票和全球股票市場(chǎng)中，按照 β 的高低將股票分成十檔，每一檔的超額收益(超額收益是總收益減去一些常見因子能夠解釋的部分)。他們針對(duì)這個(gè)現(xiàn)象提出了 Betting Against Beta 策略(下稱 BAB)、構(gòu)建投資組合、賺取其他因子無法解釋的超額收益。

　　

　　由于低 Beta 作為一個(gè)因子早已深入人心，Betting Against Beta 一經(jīng)發(fā)表，便在學(xué)術(shù)界和業(yè)界產(chǎn)生了巨大的反響。自 2014 年以來，它的被引用量在所有 Journal of Financial Economics 的文章中高居第二位，僅僅次于排名第一的 Fama-French 五因子模型。而在業(yè)界，它成為防御型投資策略當(dāng)仁不讓的杰出代表，得到了大量機(jī)構(gòu)投資者的追捧。

　　

　　3、Betting Against

　　Betting Against Beta

　　正所謂“人紅是非多”，面對(duì) BAB 因子在紙面上(on paper)獲得的非凡超額收益，有人就提出了尖銳的質(zhì)疑。2018 年，Robert Novy-Marx 和 Mihail Velikov 撰寫了一篇題為 Betting Against Betting Against Beta (BABAB)的文章(Novy-Marx and Velikov 2018)，指出 FP 在構(gòu)建 BAB 因子時(shí)有三個(gè)地方“不走尋常路”，從而導(dǎo)致了其 on paper 的超高收益，而這些收益在實(shí)際投資中無法兌現(xiàn)。這三個(gè)地方是：

　　1. 在構(gòu)建多空投資組合計(jì)算 BAB 收益率時(shí)，F(xiàn)P 使用了 rank-weighted(即按排名作為權(quán)重)，而非主流的按市值加權(quán)的做法。Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，rank-weighted 的效果和等權(quán)重組合十分接近，因此該組合在小市值因子上有暴露。由于小市值在美股長(zhǎng)期有效，它對(duì) BAB 的收益率產(chǎn)生了正貢獻(xiàn)。

　　2. 在構(gòu)建策略時(shí)，為了獲得 β 中性的組合，F(xiàn)P 在對(duì)沖時(shí)采用了杠桿(hedging by leveraging)。這使得該組合過分的暴露在微小市值和超小市值的股票中，以此獲得的超高收益率是在實(shí)際中無法實(shí)現(xiàn)的。

　　3. 在計(jì)算個(gè)股 β 時(shí)，F(xiàn)P 使用了不同的時(shí)間窗口計(jì)算波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)。這種非主流的做法佐證了 BAB 一文中提出的“betas of securities in the cross section are compressed toward one when funding liquidity risk is high”這個(gè)觀點(diǎn)。Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，這是由于 FP 計(jì)算 β 的方法天然有偏造成的;一旦修正了這個(gè)偏差，上述觀點(diǎn)并不成立。由于 BAB 這篇文章連接 α 和 β 之間負(fù)相關(guān)的出發(fā)點(diǎn)是投資者的 funding liquidity risk，因此這一條直接挑戰(zhàn)了 FP 對(duì) BAB 的解釋。

　　上述的第三方面 —— 計(jì)算 β 的方法 —— 對(duì)學(xué)術(shù)界的影響很大。自 BAB 發(fā)表之后，很多研究也采用同樣的思路計(jì)算 β 值。在該方法中，F(xiàn)P 使用一年滾動(dòng)窗口計(jì)算市場(chǎng)和個(gè)股收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，而采用五年滾窗口計(jì)算二者之間的相關(guān)系數(shù);FP 指出這么做的原因是，相對(duì)于波動(dòng)率，相關(guān)系數(shù)的變化更加緩慢。

　　當(dāng)采用傳統(tǒng)方法計(jì)算 β 時(shí)，相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差采用的是同樣長(zhǎng)度的時(shí)間窗口。通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，不難看出 FP 計(jì)算的 β 值(記為 β_FP)和傳統(tǒng) β 值的關(guān)系：

　　

　　上式中，ρ 表示相關(guān)系數(shù)，σ 代表標(biāo)準(zhǔn)差，上標(biāo) i 代表個(gè)股 i，mkt 代表市場(chǎng)，下標(biāo) 1 和 5 分別代表一年和五年的滾動(dòng)窗口。該關(guān)系式說明，采用 FP 方法計(jì)算出的 β 等價(jià)于傳統(tǒng)方法計(jì)算的 β 乘以一個(gè)系數(shù);該系數(shù)是個(gè)股一年波動(dòng)率和五年波動(dòng)率的之比和市場(chǎng)一年波動(dòng)率和五年波動(dòng)率之比的相對(duì)大小。

　　Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，該系數(shù)對(duì) β_FP 的計(jì)算在時(shí)序上有很大的影響：當(dāng)市場(chǎng)自身處于高波動(dòng)時(shí)，個(gè)股雖然也是高波動(dòng)，但是實(shí)證數(shù)據(jù)表明個(gè)股的 σ_1/σ_5 和市場(chǎng)的 σ_1/σ_5 之間的彈性小于 1，因此該系數(shù)小于 1;與之相反的，當(dāng)市場(chǎng)自身處于低波動(dòng)時(shí)，二者之間的彈性大于 1。這說明當(dāng)市場(chǎng)處于高波動(dòng)時(shí)，使用 FP 方法計(jì)算的個(gè)股 β 比傳統(tǒng)方法計(jì)算的 β 更低;而當(dāng)市場(chǎng)處于低波動(dòng)時(shí)，使用 FP 方法得到的 β 比傳統(tǒng)方法得到的 β 更高。這進(jìn)一步造成，將 β_FP 按照個(gè)股市值加權(quán)后，得到的市場(chǎng)的 β 并不等于 1。

　　下一節(jié)使用 A 股數(shù)據(jù)對(duì)此上述結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單實(shí)證。

　　4、簡(jiǎn)單實(shí)證

　　實(shí)證中選擇的時(shí)間區(qū)間為 2010 年 1 月 1 日到 2019 年 2 月 28 日。為了簡(jiǎn)化實(shí)證，我從上證指數(shù)中選出了 830 支在整個(gè)范圍內(nèi)均有交易數(shù)據(jù)的個(gè)股(以此排除上市、退市等的影響)。使用個(gè)股的收益率和市值即可以構(gòu)建出這 830 支股票對(duì)應(yīng)的“市場(chǎng)”的收益率時(shí)間序列，從而計(jì)算個(gè)股的 β。

　　由于數(shù)據(jù)不足 10 年，因此實(shí)證中并沒有采用 FP 中的一年和五年時(shí)間窗口，而是使用半年和兩年為窗口分別計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)。首先來看看個(gè)股的 σ_S/σ_L 和市場(chǎng)的 σ_S/σ_L 之間的關(guān)系(其中 S 代表半年的短窗口、L 代表兩年的長(zhǎng)窗口)。下圖中，藍(lán)色實(shí)線是個(gè)股 σ_S/σ_L 中位數(shù)、陰影區(qū)域?yàn)?5% 到 95% 分位數(shù);黃色曲線是市場(chǎng) σ_S/σ_L。不難看出，當(dāng)市場(chǎng) σ_S/σ_L 較大時(shí)(意味著市場(chǎng)處于高波動(dòng))，大部分個(gè)股的 σ_S/σ_L 在黃色曲線之下;而當(dāng)市場(chǎng) σ_S/σ_L 較小時(shí)(意味著市場(chǎng)處于低波動(dòng))，大部分個(gè)股的 σ_S/σ_L 在黃色曲線之上。這個(gè)結(jié)果和 Novy-Marx and Velikov (2018) 針對(duì)美股的實(shí)證結(jié)果相同。

　　

　　再來看看市值加權(quán)的 β_FP 得到的市場(chǎng) β 如何隨時(shí)間變化。理論上，當(dāng)采用了正確的方法計(jì)算個(gè)股的 β 后，市場(chǎng)的 β 應(yīng)該等于 1。

　　下圖中，藍(lán)色曲線是通過傳統(tǒng)方法 —— 即使用兩年窗口計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù) —— 得到的個(gè)股 β 后再通過市值加權(quán)得到的市場(chǎng) β，它的取值基本上沒有偏離 1.0;而黃色曲線為使用個(gè)股 β_FP 得到的市場(chǎng) β，它在大多數(shù)時(shí)間顯著的偏離 1.0。

　　

　　從個(gè)股 σ_S/σ_L 和市場(chǎng) σ_S/σ_L 的關(guān)系出發(fā)可知：當(dāng)市場(chǎng)處于高波動(dòng)時(shí)，β_FP 小于傳統(tǒng)方法計(jì)算出的 β;當(dāng)市場(chǎng)處于低波動(dòng)時(shí)，β_FP 大于傳統(tǒng)方法計(jì)算出的 β。因此，我們預(yù)期使用 β_FP 得到的市場(chǎng) β 和市場(chǎng) σ_S/σ_L 的取值在時(shí)序上呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)。下圖證實(shí)了這種猜想。

　　

　　以上實(shí)證結(jié)果說明，使用 FP 方法和使用傳統(tǒng)方法得到的個(gè)股 β 有很大差異。這會(huì)造成以該 β 值作為因子來選股出現(xiàn)不同的結(jié)果。由于計(jì)算 β 需要至少兩年的數(shù)據(jù)，因此下面來考察從 2012 年到 2019 年上述兩種不同 β 計(jì)算方法的選股結(jié)果。

　　下圖顯示，使用 β_FP 戰(zhàn)勝了傳統(tǒng) β：β_FP 因子獲得年化收益率 9.27%、夏普率 0.59;而傳統(tǒng) β 因子僅獲得年化收益率 5.08% 和夏普率 0.40。

　　

　　不過，先別著急下結(jié)論!我并沒有說明因子投資組合是如何構(gòu)建的。

　　該因子投資組合是按照 β 從小到大排序，首尾各取 100 支等權(quán)配置，每月末調(diào)倉。等權(quán)配置增加了在小市值上的暴露;如果按照市值加權(quán)構(gòu)建投資組合會(huì)如何呢?下圖給出了實(shí)證結(jié)果：β_FP 因子獲得年化收益率 0.65%、夏普率 0.18;而傳統(tǒng) β 因子獲得年化收益率 0.56% 和夏普率 0.25。當(dāng)排除了小市值影響后，傳統(tǒng) β 因子戰(zhàn)勝了 β_FP 因子。這個(gè)結(jié)果和 Novy-Marx and Velikov (2018) 對(duì) BAB 的第一條質(zhì)疑相一致。

　　

　　最后想指出的是，上述結(jié)果僅僅是對(duì) BAB 做的一點(diǎn)非常有限的實(shí)證，從該結(jié)果中我們還遠(yuǎn)不能得到任何確定性的結(jié)論。如何計(jì)算 β，這個(gè)最簡(jiǎn)單的問題，似乎也并不是那么容易回答。

　　5、結(jié)語

　　大量的實(shí)證數(shù)據(jù)顯示，市場(chǎng) β 和 α 確實(shí)存在負(fù)相關(guān);Fischer Black 40 年前的智慧也依舊閃亮。然而，Novy-Marx and Velikov (2018) 指出，我們應(yīng)該時(shí)刻保持警惕，搞清楚使用“特殊”方法計(jì)算的因子、構(gòu)建的投資組合是否意外的暴露在別的地方并影響對(duì)因子有效與否的判斷。

　　最后再來自我檢討一下。我?guī)啄昵暗谝淮巫x BAB 的時(shí)候，就被里面計(jì)算 β 的方法深深說服，沒有努力去思考背后的邏輯是否成立。Novy-Marx and Velikov (2018) 的分析說明，即便 BAB 是來自研究能力超一流的 AQR、發(fā)表于金融領(lǐng)域頂刊之一的 JFE，我們也不應(yīng)該想當(dāng)然的拿來主義。

　　近日，AQR 這個(gè)投資界的“學(xué)術(shù)天團(tuán)”為了慶祝其成立二十周年，特意甄選了 20 篇他們所著的最具代表性的學(xué)術(shù)論文、出版了《20 for Twenty》一書，BAB 赫然在列。 >>>點(diǎn)擊咨詢AQF證書含金量

　　

　　Cliff Asness 對(duì)這篇文章的一句話點(diǎn)評(píng)是：

　　“Fischer Black was right about the security market line (among many other things).

　　”看完了 BABAB，我想：Fischer Black 的確是對(duì)的，但是 BAB 也許未必。Don’t get me wrong!我依然是 AQR 的忠實(shí)粉絲，也非常佩服他們的學(xué)術(shù)能力和分享意識(shí)，只不過正確的態(tài)度應(yīng)是時(shí)刻保持獨(dú)立思考，因?yàn)槠饰鲆粋€(gè)因子成與敗背后的真正原因始終是我們自己的責(zé)任。

　　參考文獻(xiàn)

　　Black, F., M. C. Jensen and M. Scholes (1972). The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests. In Studies in the Theory of Capital Markets. M. C. Jensen (editor), New York: Praeger, 79 – 121.

　　Frazzini, A. and L. H. Pedersen (2014). Betting against beta. Journal of Financial Economics, Vol. 111(1), 1 – 25.

　　Novy-Marx, R. and M. Velikov (2018). Betting Against Betting Against Beta. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=3300965.

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