歐式現(xiàn)貨期權與美式期貨期權的區(qū)別是什么?量化金融分析師表示二者之間除深度實值部分外無明顯區(qū)別
[期權定價模型]
目前國內已經(jīng)上市或計劃上市的期權品種中，50ETF期權為歐式現(xiàn)貨期權，大商所的豆粕期權、玉米期權，以及鄭商所的白糖期權、棉花期權均為美式期貨期權，而上期所的銅期權則為歐式期貨期權。期權類型不同，理論定價模型也不盡相同，我們常用Black-Scholes-Merton模型(簡稱B-S模型)為50ETF期權定價，銅期權同為歐式期權，將B-S模型中的S替換為F，即可得到Black(76)模型。豆粕期權、玉米期權使用BAW模型定價，白糖期權、棉花期權使用二叉樹模型進行定價。
為了更好地運用期權進行投資和風險管理，除了選擇合適的模型和波動率對期權價格精準定價外，還需要計算出期權頭寸暴露出來的敞口大小，也就是Greeks，其在精度方面不如定價要求高。美式期貨期權不具有解析解，計算相對復雜，而歐式期貨期權的Black模型具有解析解，為了方便計算和觀察Greeks特征，是否可以使用Black模型對白糖、豆粕等美式期貨期權的Greeks進行近似計算呢，而這可能存在多大的偏差?這是本文探討的重點。
在本文的分析當中，筆者假設無風險利率為4%，波動率為20%，對行權價為5000元/噸的白糖期權分別使用二叉樹模型和Black模型，計算了歐式和美式期權Greeks隨標的期貨價格的變化情況，了解Greeks特征，并將兩個模型計算得到的Greeks值加以對比，分析存在的差異及背后原因。
[期權風險度量指標]
Delta
Delta反映了期權價格相對于標的價格的敏感程度，下圖是看漲期權與看跌期權的Delta曲線。實線為Black模型下的Delta，即Delta(Black)，虛線為二叉樹模型下的Delta，即Delta(二叉樹)。
對于看漲期權來說，Dleta為正值，其波動范圍在0到1之間?？礉q期權的實值程度越高，Delta值越大。平值看漲期權的Delta值接近0.5，當看漲期權處于深度實值狀態(tài)時，Delta趨近于1，處于深度虛值狀態(tài)時，Delta則趨近于0。
看漲期權Delta與看跌期權Delta存在如下等式關系：Delta(P)=Delta(C)-1。因此，對于看跌期權來說，Dleta恒為負值，其波動范圍在-1到0之間。看跌期權的實值程度越高，Delta絕對值越大。平值看跌期權的Delta值接近-0.5，當看跌期權處于深度實值狀態(tài)時，Delta趨近于-1，處于深度虛值狀態(tài)時，Delta則趨近于0。
不同狀態(tài)的Delta值可以概括為：
另外，將兩個模型下的Delta值進行對比發(fā)現(xiàn)，整體趨勢上看，用不同的模型計算出來的Delta值無較大差異，但在實值部分存在著明顯區(qū)別。
為了便于觀察，我們將Delta(二叉樹)與Delta(Black)做差。隨著在值程度的提高(期權越是實值，在值程度越高)，二者差距以加速度方式在逐漸擴大，而當在值程度超過一定閾值時，差距又逐漸縮小。
為了避免虛值期權與實值期權的Delta絕對水平不同帶來的影響，我們同時也計算了二者之間的相對大小，即通過Delta(二叉樹)/Delta(Black)-1得到?？傮w來說，兩種模型計算出來的Delta值存在一定差別，但差別控制在2%以內，意味著差距不大。
具體分析，可以發(fā)現(xiàn)對于虛值10%以上的期權，Delta(二叉樹)的絕對值小于Delta(Black)，且越是虛值差別越大;而對于平實值期權而言，Delta(二叉樹)的絕對值反而大于Delta(Black)。這點我們可以從期權的有效期角度做出解釋。
美式期權與歐式期權的區(qū)別在于美式期權可以在期權持有期的任意時間點行權，而歐式期權只能在到期日行權。從這個角度出發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)對于同一到期日的美式期權和歐式期權，由于美式期權存在部分提前行權的情況，其平均存續(xù)期要小于歐式期權，那么我們可以將美式期權視為一個剩余期限較短的歐式期權。
某種程度上，Delta可理解為到期日成為實值期權從而被行權的概率。剩余期限越短，意味著一切即將塵埃落定，虛值期權轉為實值期權的可能性越低，Delta值越小;而實值期權保持其原有狀態(tài)的可能性越高，Delta值越大。因此，對于虛值期權來說，在“較短剩余期限”下的Delta(二叉樹)比持有期更長的Delta(Black)更低;對于實值期權來說，在“較短剩余期限”下的Delta(二叉樹)則比持有期更長的Delta(Black)更高。
另外，從圖中可以觀察到，兩個模型的Delta之差存在一個拐點，當實值程度超過一定閾值以后，差值開始縮小，這點可從Gamma值角度進行解釋。
Gamma
Gamma反映了Delta相對于權利金變化的邊際量，Delta曲線是Gamma曲線的積分，兩個模型的Gamma曲線不同，將引起我們上述觀察到的兩個模型之間的Delta存在差異。
在歐式期權由實值變?yōu)樘撝档倪^程中，Delta曲線的變化速率呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，對應的Gamma曲線也呈現(xiàn)出先增大后減小最后無限趨近于0的形態(tài)。然而在上文中我們觀察到了美式期權深度實值部分的Delta曲線較歐式期權存在明顯差異，那么對應的實值部分美式期權的Gamma曲線是怎樣的呢?
我們可從兩個模型的Gamma曲線中觀察到，相同在值程度下看漲期權和看跌期權的Gamma值相等，且對于歐式期權而言，Gamma值呈現(xiàn)對稱的結構，但是對于美式期權，并非完美對稱，而是在實值位置有所偏離。在實值區(qū)域，二叉樹模型下的Gamma高于Black模型下的Gamma，但超過某一個閾值以后，二叉樹的Gamma又迅速減小到0，而這一閾值與實值期權的Delta差開始縮小的閾值相吻合。
另外，兩個模型下的Gamma值隨在值程度的表現(xiàn)也與Delta情況相近，且二者之間整體差距較小。因此，在使用標的對期權進行對沖時，相對于歐式期權，美式期權買方可以從Gamma中賺得更多的收益，對應的期權賣方虧損更多。
對于實值美式期權，在超過某一個閾值之后，Gamma(二叉樹)恒等于0，同時Delta(二叉樹)恒等于1，可以發(fā)現(xiàn)在不考慮Vega和Theta的情況下，持有這樣一個看漲(看跌)期權就相當于持有一個期貨多頭(空頭)。由于相對于歐式期權，美式期權具有可以提前行權的特點，那么是否在超過一定閾值以后，美式期權的持有者理論上一定會選擇提前行權將期權頭寸轉化為期貨頭寸呢?我們將從Theta和Vega的角度來探討這一問題。
Theta
Theta體現(xiàn)了時間因素對期權價格的影響，隨著時間的流逝，期權價格將逐漸衰減，因此Theta通常表現(xiàn)為負值。不同于B-S模型下的Theta值，對于期貨期權而言，無論美式或是歐式，看漲期權與看跌期權的Theta值是一樣的。另外，Theta曲線呈現(xiàn)為中間低兩邊高的形態(tài)，也就是說平值期權的時間價值衰減速度要快于實值和虛值期權。
從下圖中可以看出，整體上兩個模型計算出來的Theta值之間無明顯差異，但當實值程度超過一定閾值時，二者存在明顯偏離，主要表現(xiàn)為Black模型下的深度實值Theta均為正值，而二叉樹趨近于0，這意味著今后銅期貨期權上市后，其深度實值的看漲期權與看跌期權的時間價值均有可能出現(xiàn)為負的情形，而對于當下的白糖期權、豆粕期權來說，因為其為美式期權，時間價值不可能為負，因為一旦時間價值為負，那么期權的持有者就會選擇提前行權，將期權頭寸轉化為期貨頭寸。
究其背后原因，一方面，持有深度實值期權的資金占用高，從而產生了較高的資金成本;另一方面，越是深實值的期權時間價值越小，若繼續(xù)持有期權產生的資金成本超過時間價值時，時間越短反而對期權買方越有利，這將導致歐式期權Theta為正。因美式期權可提前行權，若發(fā)生以上有利情形，投資者直接行權轉化為期貨頭寸即可，因此Theta歸零。
Vega
Vega反映了波動率對期權價格的影響，波動率越大，看跌期權與看漲期權的期權價格均會放大越多，且二者之間的Vega值相等。另外，持有期越長，Vega值越大;隨著在值程度逐漸變大，Vega值呈現(xiàn)先變大后縮小的鐘形形態(tài)。也就是說，持有期越長、越是接近平值的期權，Vega值越大。
從對比圖來看，可以觀察到在深度實值部分，二叉樹模型下的Vega和Gamma、Theta存在了相似的情況，在超過閾值以后等于0。
[結論]
根據(jù)以上對比分析，筆者總結出歐式和美式期權Greeks有以下特性：
無論是歐式期權還是美式期權，Delta值取值范圍固定在-1到1之間，看漲期權Delta值大于0，看跌期權Delta值小于0，越是實值的期權，Delta絕對值越大。
因為Delta值體現(xiàn)了期權成為實值的概率，對于不同的在值程度，越接近到期日，Delta值分布越分散，即虛實值期權保持其原有狀態(tài)的確定性更高。
相同在值程度的看漲、看跌期權的Gamma值相等，對于歐式期權，Gamma值呈現(xiàn)完美對稱的特征，但是美式期權在實值部分有所偏離，而這也導致了美式期權的實值Delta比歐式更大。
相同在值程度的看漲、看跌期權的Theta值相等，對于美式期貨期權，Theta值恒小于等于0;但是深實值的歐式期貨期權Theta值會出現(xiàn)大于0的情況。
相同在值程度的看漲、看跌期權的Vega值相等，對于歐式期權，Vega值呈現(xiàn)完美對稱的特征，但是美式期權在實值部分有所偏離，深實值期權的Vega值快速收斂于0。
綜合以上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)，整體來說，歐式期貨期權和美式期貨期權的Greeks因子之間除深實值期權部分有較多不同，其他無論從趨勢或從絕對量來看并無明顯差異。基于此，為了方便起見，使用簡易的Black模型對美式期貨期權的Greeks進行大致分析是合適的，誤差范圍可控制在1%以內。
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