作者：石川，北京量信投資管理有限公司創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士。知乎專(zhuān)欄：
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摘要
量化投資丨Risk Parity 能夠有效分散風(fēng)險(xiǎn);而 Black-Litterman 是貝葉斯思想的完美體現(xiàn)。二者的結(jié)合是值得持續(xù)探索的資產(chǎn)配置方法。
1、引言
之前我寫(xiě)了一些文章介紹海外因子擇時(shí)的先進(jìn)觀點(diǎn)。然后有小伙伴問(wèn)我“你怎么看因子擇時(shí)?”。于是就有了本文。
本文將使用 Risk Parity + Black-Litterman 模型進(jìn)行股票風(fēng)格因子的擇時(shí)實(shí)證。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，本文的目的不是宣稱 RP + BL 就一定會(huì)比不擇時(shí)(即按簡(jiǎn)單多樣化配置)更好 —— 從實(shí)證結(jié)果來(lái)看也確實(shí)并非如此。本文更多的是介紹 RP + BL 這種思想。
Risk Parity(風(fēng)險(xiǎn)平價(jià))是一種 volatility weighting;volatility weighting 被證明在長(zhǎng)期來(lái)看可以獲得更高的 Sharpe Ratio(Hallerbach 2012)，是一個(gè)優(yōu)秀的配置方法。另一方面，Black-Litterman 是基于貝葉斯思想的資產(chǎn)配置框架。它讓使用者非常容易把自己的主觀判斷(稱為 views)和先驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，得到待配置資產(chǎn)的后驗(yàn)收益率分布。較直接使用 mean-variance optimization 來(lái)說(shuō)，BL 模型給出的配置結(jié)果更加符合人們的預(yù)期。
將 RP 和 BL 結(jié)合起來(lái)的方法是把 Risk Parity 配置下的收益率分布作為 Black-Litterman 框架下的先驗(yàn)，同時(shí)摒棄原方法中的所謂市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的先驗(yàn)。RP + BL 可以看成是 volatility weighting 和貝葉斯思想的完美結(jié)合。下面就來(lái)看看它們能擦出怎樣的火花。
下文假設(shè)讀者熟悉 Risk Parity 和 Black-Litterman 模型。
2、再談 Risk Parity 模型
《淺析資產(chǎn)配置的幾種方法》一文曾對(duì)比了一些常見(jiàn)的資產(chǎn)配置方法。隨著我們對(duì)資產(chǎn)間收益率分布的 μ_i、σ_i 以及 ρ_ij 的信息的減少，不同資產(chǎn)配置方法的關(guān)系如下圖所示。當(dāng)我們有 μ_i、σ_i、ρ_ij 全部信息時(shí)，應(yīng)充分利用它們、以最大化投資組合夏普率為目標(biāo)做配置;而在另一個(gè)極端，如果所有信息都是未知的，那么簡(jiǎn)單多樣化(等權(quán)配置)是唯一的選擇。Risk Parity 介于兩者之間，它假設(shè)我們充分掌握投資品之間的協(xié)方差矩陣。
令 ω_i 代表資產(chǎn) i 的權(quán)重。由 Risk Parity 的定義有：
其中 σ_p 代表投資組合的波動(dòng)率，它的表達(dá)式為：
上式中，ω 是全部 N 個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重向量;Ω 是 N 個(gè)資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣。將 σ_p 的表達(dá)式代入到其對(duì) ω_i 的偏導(dǎo)數(shù)有：
在上面的推導(dǎo)中，第三步使用了資產(chǎn) i 收益率 r_i 和投資組合收益率 r_p 之間的協(xié)方差的定義;最后一步使用了 β 的定義 —— 資產(chǎn) i 收益率相對(duì)于投資組合收益率的 β。將該關(guān)系式代回到 Risk Parity 的條件可知：
在 Risk Parity 中，投資組合的權(quán)重和它于資產(chǎn)的 β 成反比;一個(gè)資產(chǎn)和組合的 β 越高，其權(quán)重越低，從而有效的分散了風(fēng)險(xiǎn)，每個(gè)資產(chǎn)對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相同。
從 β 的定義出發(fā)可以看到，波動(dòng)低(σ_i 小)且和其他資產(chǎn)相關(guān)性低(ρ_ij 低，因此 ρ_ip 才可能低)的資產(chǎn)會(huì)獲得更高的權(quán)重。通常來(lái)說(shuō)，波動(dòng)率低的資產(chǎn)收益率也更低，因此 Risk Parity 通常使用杠桿來(lái)提高低波動(dòng)資產(chǎn)的權(quán)重以使組合的風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到給定的風(fēng)險(xiǎn)水平(現(xiàn)實(shí)中是否能加杠桿則是另一個(gè)問(wèn)題)。
當(dāng)然，上面的求解并沒(méi)有考慮任何約束條件，僅是定性說(shuō)明 Risk Parity 的性質(zhì)。在實(shí)際投資中，ω_i 應(yīng)滿足各種限制(比如能否做空;或者能使用多高的杠桿)。本文的實(shí)證要求 ω_i 滿足非負(fù)且 Σω_i = 1 兩個(gè)約束條件。
3、結(jié)合 Black-Litterman 框架
作為應(yīng)用貝葉斯思想的資產(chǎn)配置方法，Black-Litterman 使用先驗(yàn)和新息的線性加權(quán)計(jì)算出 N 個(gè)資產(chǎn)收益率的后驗(yàn)分布。首先使用 Risk Parity 的權(quán)重反推出的預(yù)期收益率先驗(yàn)分布 N(μ_rp, τΩ)：
其中 δ 是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，ω_rp 代表使用 Risk Parity 配置權(quán)重;模型假設(shè)預(yù)期收益率的協(xié)方差矩陣和收益率的協(xié)方差矩陣 Ω 有同樣的結(jié)構(gòu)，但是數(shù)量級(jí)要小很多，因此用 τΩ 表示(τ 是縮放尺度)
另一方面，Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對(duì)于資產(chǎn)收益率相對(duì)強(qiáng)弱的主動(dòng)判斷(views)，每個(gè) view 由其所涉及的資產(chǎn)的線性組合表示。假設(shè)投資者一共有 K 個(gè) views，則它們的關(guān)系如下：
其中，P(K × N 矩陣)的每一行表示某個(gè) view 中涉及資產(chǎn)的權(quán)重(換句話說(shuō)，每個(gè) view 是一個(gè)投資組合，它可涉及一個(gè)或多個(gè)資產(chǎn));μ(K 階向量)表示未知新息預(yù)期收益率(該變量最終并未出現(xiàn)在 BL 公式中);Q(K 階向量)表示 P 中的 K 個(gè)投資組合的收益率。由于投資者對(duì)于這些 views 并不是 100% 確定，因此模型中使用 Ξ(K × K 矩陣)表示 views 的不確定性;假設(shè) views 之間相互獨(dú)立，因此 Ξ 是一個(gè)對(duì)角陣。新息的方差為 P’(Ξ^-1)P。
根據(jù)貝葉斯思想，后驗(yàn)預(yù)期收益率是先驗(yàn)和新息的加權(quán)，權(quán)重和這二者各自的不確定性成反比。因此，Black-Litterman 模型中的預(yù)期收益率后驗(yàn)滿足分布 N(μ_BL, M)：
由于預(yù)期收益率也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此資產(chǎn)的收益率波動(dòng)是預(yù)期收益率的波動(dòng)和收益率圍繞預(yù)期收益率波動(dòng)之和。最終，N 個(gè)資產(chǎn)收益率的后驗(yàn)分布滿足 N(μ_BL, Ω + M)。將收益率的后驗(yàn)分布代入到 mean-variance optimization(MVO)中就可以求出基于 Black-Litterman 的較優(yōu)配置權(quán)重。
在使用 Black-Litterman 框架時(shí)，一種簡(jiǎn)化處理方式是讓 P = I，即對(duì)于 N 個(gè)資產(chǎn)新息預(yù)期收益率有 K = N 個(gè)判斷(每個(gè) view 涉及單獨(dú)一個(gè)資產(chǎn));此外，進(jìn)一步假設(shè)這 K = N 個(gè) views 的不確定性和 Ω 有同樣的結(jié)構(gòu)，記為 Ξ = κΩ。將上述假設(shè)代入到模型中可知預(yù)期收益率后驗(yàn)分布為 N(μ_BL, M)：
在上述假設(shè)下，μ_BL 是 μ_rp 和 Q 的簡(jiǎn)單線性加權(quán)。同樣的，N 個(gè)資產(chǎn)收益率的后驗(yàn)分布滿足 N(μ_BL, Ω + M)。
在使用 Black-Litterman 框架時(shí)必須要回答的一個(gè)問(wèn)題就是如何提供 views。實(shí)證中將使用過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)收益率(即動(dòng)量)作為確定 views 的依據(jù)，并采取上面兩種方法 —— 標(biāo)準(zhǔn)版和簡(jiǎn)化版 —— 計(jì)算 views 的參數(shù)。
此外，由于 M 較 Ω 來(lái)說(shuō)很小，因此在實(shí)證中忽略 M，仍使用 Ω 作為資產(chǎn)收益率分布的協(xié)方差矩陣。求出后驗(yàn)收益率分布后，采用 MVO 計(jì)算最終的資產(chǎn)權(quán)重;在優(yōu)化時(shí)，要求權(quán)重 ω_i 滿足非負(fù)及 Σω_i = 1 兩個(gè)約束條件。
在因子擇時(shí)問(wèn)題中，每個(gè)因子投資組合是一個(gè)資產(chǎn)。按照上述設(shè)定可以動(dòng)態(tài)計(jì)算出每一期因子的權(quán)重，從而達(dá)到擇時(shí)的效果。以上設(shè)定的步驟總結(jié)如下：
1. 使用 Risk Parity 計(jì)算先驗(yàn)權(quán)重，以此反推出先驗(yàn)預(yù)期收益率分布;
2. 使用因子動(dòng)量作為新息計(jì)算 views 的取值;
3. 采用標(biāo)準(zhǔn)版及簡(jiǎn)化版 Black-Litterman 公式計(jì)算因子收益率的后驗(yàn)分布;
4. 將后驗(yàn)分布代入 MVO 求出最新一期的因子權(quán)重;
5. 每個(gè)月最后一個(gè)交易日重復(fù)上述 1 – 4 步，計(jì)算下個(gè)月的因子權(quán)重并再平衡。
4、一個(gè)例子
本節(jié)使用一個(gè)例子說(shuō)明使用 Risk Parity + Black Litterman 的因子擇時(shí)效果。實(shí)證中(本節(jié)和下一節(jié))的全部因子投資組合均是基于中證 500 成分股構(gòu)建的多、空對(duì)沖組合，收益率頻率為月頻。對(duì)于給定的因子，每月末按其業(yè)務(wù)邏輯排序，做多排名較高的 50 支，做空排名最低的 50 支，等權(quán)配置，不考慮任何成本。
實(shí)證中的因子均來(lái)自聚寬因子庫(kù)。該因子庫(kù)包含質(zhì)量、基礎(chǔ)、情緒、成長(zhǎng)、風(fēng)險(xiǎn)以及每股因子六大類(lèi)因子。由于情緒類(lèi)因子的收益率受漲跌停、停牌影響較大，實(shí)證中僅考慮其他五類(lèi)(共 120 個(gè))因子。下圖顯示了從這些因子中隨機(jī)選出的 6 個(gè)因子在實(shí)證期內(nèi)的累積凈值。 >>>點(diǎn)擊咨詢AQF考試相關(guān)問(wèn)題
實(shí)證中使用長(zhǎng)度為 18 個(gè)月的滾動(dòng)窗計(jì)算協(xié)方差矩陣 Ω，并以此作為 Risk Parity 的輸入求出 ω_rp。此外，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) δ = 10，計(jì)算 μ_rp。對(duì)于新息，采用每個(gè)因子過(guò)去 12 個(gè)月內(nèi)的動(dòng)量計(jì)算 views 的取值，并針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)版和簡(jiǎn)化版 Black-Litterman 模型有兩種處理方法。
在簡(jiǎn)化版中，使用每個(gè)因子在過(guò)去 12 個(gè)月的平均收益率直接作為 Q，并假定 μ_rp 和 Q 的權(quán)重分別為 0.8 和 0.2。
在標(biāo)準(zhǔn)版中，假設(shè) τ = 0.1。對(duì)于 views 的處理則沒(méi)那么直截了當(dāng)。在這種情況下，實(shí)證中僅考慮一個(gè) view：將這 N 個(gè)資產(chǎn)按過(guò)去 12 個(gè)月的動(dòng)量從高到低排序，并等權(quán)做多前 N/2 個(gè)、等權(quán)做空后 N/2 個(gè)(如果 N 為奇數(shù)則丟棄掉中間那個(gè));假設(shè)該組合下個(gè)月的收益率為 1%(即強(qiáng)者恒強(qiáng))，且該判斷的標(biāo)準(zhǔn)差為 1%。在上述條件下，該 view 的參數(shù)為：
有了這些參數(shù)就可以按照標(biāo)準(zhǔn)版的 Black-Litterman 公式計(jì)算這些因子收益率的后驗(yàn)分布。每個(gè)月末，采用上述兩種方法計(jì)算下個(gè)月的最新權(quán)重，以此實(shí)現(xiàn)因子擇時(shí)。在實(shí)證期內(nèi)，這兩種 Black-Litterman 配置方法和簡(jiǎn)單多樣化(naive)的凈值如下圖所示。
下表匯總了這三種配置方法的風(fēng)險(xiǎn)收益情況。
從圖中和表中看到，使用 Black-Litterman 將 Risk Parity 和因子動(dòng)量“揉在”一起擇時(shí)戰(zhàn)勝了簡(jiǎn)單多樣化。此外，簡(jiǎn)化版 BL 戰(zhàn)勝了標(biāo)準(zhǔn)版 BL。這可能說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)版中使用的 view 并不十分靠譜。
先別急著激動(dòng)。這個(gè)例子當(dāng)然是 Cherry Picking!下一小節(jié)會(huì)有更多的實(shí)證結(jié)果來(lái)客觀的評(píng)判這個(gè)擇時(shí)方法的效果。
然而，這個(gè)例子也有可取之處。實(shí)證中故意挑選了走勢(shì)不同的因子，而非那些多空對(duì)沖后穩(wěn)健上行的因子。對(duì)沖后在樣本內(nèi)穩(wěn)健上行的因子基本上都是 data mining 的產(chǎn)物，無(wú)論怎么配置或者擇時(shí)效果都不會(huì)差。本文雖然題為因子擇時(shí)，但上述方法也可以用于大類(lèi)資產(chǎn)擇時(shí)，而大類(lèi)資產(chǎn)難以出現(xiàn)穩(wěn)健上行的走勢(shì)。所以，對(duì)于這樣的一組樣本，比較主動(dòng)擇時(shí)方法和簡(jiǎn)單多樣化之間孰優(yōu)孰劣更有意義。
5、更多實(shí)證分析
本小節(jié)通過(guò)考慮不同的因子個(gè)數(shù)(5 至 10)，以及不同的因子進(jìn)行更多的實(shí)證。全部因子仍來(lái)自聚寬五大類(lèi)因子中的 120 個(gè)。對(duì)于每個(gè)給定的因子個(gè)數(shù) N，進(jìn)行 300 次實(shí)驗(yàn);每次實(shí)驗(yàn)中從因子池中隨機(jī)抽取 N 個(gè)作為標(biāo)的。
下圖是這 120 個(gè)因子協(xié)方差矩陣的聚類(lèi)圖，能比較清晰的看出不同類(lèi)因子的個(gè)數(shù)是不均衡的，且同一大類(lèi)因子之間的相關(guān)性較高。這些自然都會(huì)對(duì)實(shí)證的結(jié)果產(chǎn)生影響，因此本小節(jié)匯報(bào)的結(jié)果也僅是探索性的。
來(lái)看結(jié)果。對(duì)于不同的因子個(gè)數(shù)，下圖展示了兩種不同 Black-Litterman 處理方式下，因子擇時(shí)比簡(jiǎn)單多樣化獲得更高夏普率的次數(shù)。當(dāng)采用簡(jiǎn)單處理方式時(shí)，因子擇時(shí)獲勝的次數(shù)在 150 到 160 之間(勝率 50% 至 55%);而標(biāo)準(zhǔn)處理方式下，因子擇時(shí)獲勝的次數(shù)僅僅在 110 到 120 之間(勝率 36% 到 40%)，再次說(shuō)明了選擇的 view 不是很靠譜。
當(dāng)然，即便是采用簡(jiǎn)單的 Black-Litterman 處理方法，因子擇時(shí)的勝率也僅在 55% 左右，難以令人滿意(這和作為新息的因子動(dòng)量也有關(guān))。下面再具體來(lái)考察采用簡(jiǎn)單處理方法時(shí)的某些因子特征，看看能否找到一些蛛絲馬跡。
接下來(lái)兩張圖展示了因子擇時(shí)優(yōu)于和差于簡(jiǎn)單多樣化時(shí)，因子之間平均相關(guān)系數(shù)以及因子方差最大、最小值之比兩個(gè)指標(biāo)。當(dāng)因子擇時(shí)優(yōu)于簡(jiǎn)單多樣化時(shí)，因子間的平均相關(guān)系數(shù)更高、因子方差的差異更小。
我對(duì)此的猜測(cè)是相關(guān)系數(shù)較高時(shí)，Risk Parity 能比簡(jiǎn)單多樣化占優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗梢愿行У睦孟嚓P(guān)性信息;當(dāng)方差差異更低時(shí)，在較優(yōu)化計(jì)算因子權(quán)重時(shí)的誤差更低，因此能夠更準(zhǔn)確反映擇時(shí)的效果。這些猜想值得進(jìn)一步的研究。
最后，下圖給出了使用簡(jiǎn)單 Black-Litterman 處理方法時(shí)，因子擇時(shí)的非條件勝率以及兩個(gè)條件勝率。在這兩個(gè)條件勝率中，我們分別考慮了平均相關(guān)系數(shù)在其中位數(shù)之上的一半實(shí)驗(yàn)(即每個(gè)因子 150 個(gè)實(shí)驗(yàn))、以及因子方差之比在其中位數(shù)之下的一半實(shí)驗(yàn)(也是每個(gè)因子 150 個(gè))。這兩個(gè)條件將因子擇時(shí)的勝率提高到 60% 到 65% 之間。
6、結(jié)語(yǔ)
本文介紹了基于 Risk Parity 和 Black Litterman 的因子擇時(shí)實(shí)證分析結(jié)果。
作為 volatility weighting 的代表選手，Risk Parity 能夠有效分散風(fēng)險(xiǎn);而 Black-Litterman 模型則更是貝葉斯思想的完美體現(xiàn)。二者的結(jié)合有著非常好的理論依據(jù)，是值得持續(xù)探索的資產(chǎn)配置方法。
我想再次強(qiáng)調(diào)的是，本文的目的是探索這種方法。目前的實(shí)證結(jié)果難以給出確定性的結(jié)論。如果樣本外所有的因子或資產(chǎn)的走勢(shì)都想樣本內(nèi)一樣喜人，那簡(jiǎn)單多樣化顯然就足夠了。然而，現(xiàn)實(shí)絕非如此。下圖是美股上 46 個(gè)因子在樣本內(nèi)和樣本外各 10 年的平均效果。在樣本外，這些因子的平均表現(xiàn)顯著的變得平庸，這也正是因子投資的現(xiàn)實(shí)。面對(duì)樣本外的未知，也許基于 Risk Parity + Black-Litterman 的擇時(shí)比簡(jiǎn)單多樣化更值得嘗試。
最后，本文實(shí)證中采用因子動(dòng)量計(jì)算 views 僅是希望選擇的方法簡(jiǎn)單、透明，且是大家熟悉的，除此之外并無(wú)其他特別之處。負(fù)責(zé)任的說(shuō)，我沒(méi)有 multiple testing 試了 n 多種 views 方法然后選了個(gè)因子動(dòng)量。因此，如何更合理的在貝葉斯框架下提供 views 也是需要繼續(xù)研究的課題。
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