摘要

　　本文探討了將尾部風(fēng)險融合到 Risk Parity 進(jìn)行資產(chǎn)配置的方法。有效利用高階矩信息可以提高投資組合的風(fēng)險收益特征。

　　1、引言

　　近日，Rob Arnott、Campbell Harvey 等人在 JPM 上發(fā)表了一篇題目頗為浪漫的文章(Arnott et al. 2019)：愛麗絲夢游仙境;抱歉、錯了，應(yīng)該是愛麗絲的因子島冒險之旅(Alice’s adventures in factorland)。我最初看到這個標(biāo)題時感受到的畫風(fēng)是這樣的(年齡暴露帖)。

　　

　　言歸正傳，這篇文章嚴(yán)肅討論了投資人在因子投資中常犯的三大類錯誤，從而導(dǎo)致了因子投資的效果很差。這三類問題是：

　　1. 對因子實(shí)盤的表現(xiàn)沒有正確的預(yù)期：這包括低估了樣本內(nèi)過擬合、沒有考慮到可能發(fā)生的因子擁擠、對實(shí)際的交易成本估計(jì)嚴(yán)重不足等問題;

　　2. 對因子投資組合沒有采取科學(xué)的風(fēng)控：錯誤假設(shè)因子投資組合收益率符合正態(tài)分布，對因子投資組合的肥尾風(fēng)險嚴(yán)重低估;

　　3. 對不同因子能提供的分散化過度樂觀：不同風(fēng)格因子平時的相關(guān)性確實(shí)較低，但在股災(zāi)面前，它們的尾部相關(guān)性驟然變高，完全無法起到分散風(fēng)險的作用。

　　我想以上面的第二點(diǎn)為引子開啟今天的話題。對此，Arnott et al. (2019) 以美股上的動量因子為例做了解釋。下圖黑色曲線是實(shí)際動量因子的累積收益率;紅色曲線是假設(shè)動量因子收益率符合正態(tài)分布時的收益曲線。兩條曲線的巨大分歧出現(xiàn)在金融危機(jī)期間，說明正態(tài)分布根本無法很好的描述因子收益率的尾部風(fēng)險。

　

　　再來看看 A 股。下圖是上證指數(shù)自 2005 年 1 月 4 日至 2019 年 5 月 31 日的日頻收益率分布(柱狀圖)。以該分部的均值和方差構(gòu)建出的正態(tài)分布曲線是圖中紅色曲線。上證指數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分布呈現(xiàn)出明顯的尖峰肥尾，正態(tài)分布難以捕捉其尾部風(fēng)險。

　　

　　上面這些例子表明僅考慮一階矩和二階矩并不能很好的刻畫資產(chǎn)的風(fēng)險。而這也正是我們熟知的 Risk Parity 常被人詬病的地方 —— 它僅使用投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差(方差的平方根)來刻畫風(fēng)險，對尾部風(fēng)險處理不足。

　　今天這篇文章就從尾部風(fēng)險的角度對 Risk Parity 做一些擴(kuò)展。它可以看做是《尾部相關(guān)性、尾部風(fēng)險平價和圣杯分布》的進(jìn)階。

　　下文第二節(jié)將使用一些 A 股上的因子投資組合對比 Risk Parity 和 Tail Risk Parity(尾部風(fēng)險平價)的配置效果;第三節(jié)介紹 Baitinger, Dragosch, and Topalova (2017) 提出的將 Risk Parity 擴(kuò)展到三、四階矩的配置框架;第四節(jié)總結(jié)全文。

　　2、Risk Parity vs Tail Risk Parity

　　考慮到資產(chǎn)分布的肥尾特性，使用 Expected Shortfall(ES)來計(jì)算尾部風(fēng)險。它也稱作 Expected Tail Loss 或 conditional value at risk(CVaR)，代表了 α 分位數(shù)左側(cè)尾部風(fēng)險的均值，相較于 VaR 能夠更好的刻畫尾部風(fēng)險。

　　將 Risk Parity 處理 σ 的方法延伸至 ES 就得到 Tail Risk Parity(尾部風(fēng)險平價)。尾部風(fēng)險平價的目標(biāo)是讓不同資產(chǎn)或策略對投資組合的尾部風(fēng)險貢獻(xiàn)相同。它更多的是一種理念，而具體實(shí)現(xiàn)方法則因人而異。在我們的例子中，由于使用 ES 刻畫尾部風(fēng)險，因此可以讓不同資產(chǎn)對投資組合的尾部風(fēng)險 ES 等貢獻(xiàn)，即資產(chǎn)權(quán)重 ω_i 滿足：

　　

　　上式中，ES_p 代表投資組合的 Expected Shortfall。

　　在實(shí)際使用時，仍然有個問題。對于 Risk Parity，投資組合的波動率 σ_p 對于資產(chǎn)權(quán)重 ω_i 的偏導(dǎo)數(shù)是有解釋表達(dá)式的;而在上述 Tail Risk Parity 中，ES 對 ω_i 的偏導(dǎo)數(shù)沒有解析表達(dá)式。這對于通過較優(yōu)化求解 ω_i 增加了額外的難度。

　　前文《淺析資產(chǎn)配置的幾種方法》曾指出，如果資產(chǎn)間的兩兩相關(guān)系數(shù)相同，則 Risk Parity 較優(yōu)權(quán)重滿足 ω_i 和 σ_i 成反比。因此，在本文的實(shí)證中采用類似的簡化處理方法，即根據(jù)資產(chǎn)的收益率數(shù)據(jù)計(jì)算出每個資產(chǎn)的 ES_i，然后令資產(chǎn)權(quán)重和 ES_i 成反比：

　　

　　接下來就用上述 Tail Risk Parity 配置方法和 Risk Parity 進(jìn)行比較。為了讓對比更合理，在通過較優(yōu)化確定 Risk Parity 的資產(chǎn)權(quán)重時，要求 ω_i 滿足非負(fù)且所有 ω_i 之和為 1 兩個約束條件。在計(jì)算 ES 時，選擇 1% 分位數(shù)。

　　實(shí)證中，回測期為 2010 年 1 月 1 日至 2019 年 3 月 31 日，并考慮中證 500 成分股。進(jìn)行資產(chǎn)配置的投資標(biāo)的為以下 9 個因子組合：beta、earnings yield、growth、leverage、momentum(事實(shí)是當(dāng)成反轉(zhuǎn)使用)、nonlinear size、P/B、residual volatility 以及 size。全部因子暴露數(shù)據(jù)來自JoinQuant，做多排名前 50 的股票、做空排名后 50 的股票來構(gòu)建投資組合。

　　下圖展示了上述九大因子投資組合日頻收益率的分布和以它們各自均值和標(biāo)準(zhǔn)差對應(yīng)的正態(tài)分布。從圖中不難看出，這些因子投資組合也表現(xiàn)出了尖峰肥尾的特征。

　　

　　在比較 Risk Parity 和 Tail Risk Parity 時，依照這兩種方法對這九個因子按月調(diào)倉(每月最后一個交易日調(diào)倉，不考慮任何成本，排除因停牌而無法交易的股票)。然而計(jì)算每個因子的 ES 需要更細(xì)的粒度，故而選擇因子日頻收益率，并使用不少于 1 年的 expending 窗口計(jì)算每個因子的 ES(為了更準(zhǔn)確的估計(jì) ES，沒有使用常用的 rolling 窗口)，因此首次構(gòu)建投資組合是在 2010 年 12 月 31 日。這些因子組合的日頻累積收益率如下圖所示。

　　

　　在回測期內(nèi)，Risk Parity 和 Tail Risk Parity 配置結(jié)果的累積凈值和回撤如下圖所示。在本例中，兩種方法的結(jié)果雖然非常接近，但仍然能看出以 ES 為目標(biāo)的 Tail Risk Parity 更有效的降低了投資組合的最大回撤和波動。在回測期內(nèi)，Tail Risk Parity 和 Risk Parity 的年化收益率分別為 9.00% 及 8.99%;夏普率分別為 1.22 和 1.15;最大回撤分別為 -8.22% 和 -10.52%;最大回撤天數(shù)分別為 515 和 699。這些數(shù)據(jù)表明，Tail Risk Parity 較 Risk Parity 更好的規(guī)避了風(fēng)險。

　　

　　熟悉我的小伙伴大概知道我要開始“自我否定”了。沒錯，上面只是一個例子，而且二者的差異也很小。為此，隨機(jī)從上述 9 個因子中抽取 5 個，進(jìn)行 50 次實(shí)驗(yàn)，來考察一下 Tail Risk Parity 的表現(xiàn)。下圖展示了在這 50 次實(shí)驗(yàn)中，這兩種配置方法 Sharpe Ratio 的對比(圖中實(shí)驗(yàn)的序號，即橫坐標(biāo)，已經(jīng)按 Risk Parity 的夏普率從大到小排序了)。

　　

　　在其中的 39 次實(shí)驗(yàn)中，Tail Risk Parity 的 Sharpe Ratio 高于 Risk Parity，勝率為 78%。此外，從上圖可以看到，當(dāng) Risk Parity 的夏普率較低的實(shí)驗(yàn)中(即隨機(jī)選出的因子資產(chǎn)本身更差)，Tail Risk Parity 的優(yōu)勢更加明顯，這無疑是一個很好的結(jié)果。

　　作為 robustness check，同時考慮隨機(jī)選取 3、4、6 個因子的情況，也可以觀察到類似的結(jié)果(下圖)。此外，實(shí)證中還考慮了以 5% 分位數(shù)計(jì)算 ES，也可以獲得類似的結(jié)論，這里不再贅述。

　　

　　本小節(jié)的實(shí)證說明，以 ES 為代理變量描述尾部風(fēng)險的 Tail Risk Parity 是一個值得嘗試的資產(chǎn)配置方法。相比于 Risk Parity 它有希望提高最終投資組合的風(fēng)險收益特征。當(dāng)然，尾部風(fēng)險建模或者使用 empirical data 計(jì)算 ES 都可能引入更高的誤差。

　　此外，該方法僅僅是通過尾部風(fēng)險間接的對 Risk Parity 進(jìn)行了改進(jìn)。下一節(jié)介紹的方法將直接從分布的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)入手，將高階矩信息直接融入到 Risk Parity 當(dāng)中。

　　3、將 Risk Parity 擴(kuò)展至高階矩

　　Baitinger, Dragosch, and Topalova (2017) 認(rèn)為收益率的三階矩和四階矩包含了更多的關(guān)于風(fēng)險的信息，因此提出可以考慮在 Risk Parity 中加入三階矩和四階矩信息。對于更高階矩，因?yàn)閰?shù)估計(jì)的誤差隨著階數(shù)非線性增加，因此金融領(lǐng)域一般不考慮更高階矩。

　　在這個方法中，第一個難點(diǎn)就是計(jì)算投資組合的三階矩和四階矩。下面以三階矩為例介紹其計(jì)算方法。這個方法出自 Athayde and Flores (2003)。

　　讓我們從熟悉的二階矩說起。假設(shè)資產(chǎn)的權(quán)重向量為 ω，則投資組合的二階矩為：

　　

　　可見，求解投資組合的二階矩需要用到資產(chǎn)之間的協(xié)方差矩陣。因此，為了求投資組合的三階矩，需要資產(chǎn)之間的 co-skewness“矩陣”。這里“矩陣”為什么要加引號呢?這是因?yàn)?co-skewness“矩陣”不是個矩陣，而是一個 cubic shape 的 tensor。

　　下面請各位調(diào)動起空間想象能力。這個三階矩 tensor 可以想象成以下 n 個 n × n 矩陣從上到下排列成構(gòu)成一個立方體，從而得到一個 n × n × n 階 tensor，這就是這 n 個資產(chǎn)之間的三階矩 tensor。

　　

　　如何求解投資組合的三階矩呢?對于上述每一層的 n × n 矩陣，運(yùn)用二階矩的計(jì)算方法，將其左邊乘上一個 ω 轉(zhuǎn)置，右邊乘上一個 ω，因此每一層得到一個標(biāo)量，所以這 n 層一共得到 n 個標(biāo)量(下圖)。

　　

　　最后，把上述操作得到的 n 個標(biāo)量構(gòu)成一個 n 階向量，再和權(quán)重向量 ω 進(jìn)行一次內(nèi)積，就得到了投資組合的三階矩。上述過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

　　

　　上式中，為了數(shù)學(xué)運(yùn)算，將 n × n × n 階 tensor 從三維降維展開成二維(想想《三體》……)。這意味著將這 n 個 n × n 矩陣平鋪在一起構(gòu)成 M_3 這個 n × n² 階的矩陣。以上就是投資組合 skewness 的計(jì)算方法。

　　對于投資組合的四階矩 kurtosis，我們需要計(jì)算這些資產(chǎn)間的四階矩 tensor。空間想象也摟不住了，索性就直接給出公式，具體請參考 Athayde and Flores (2003)。

　　

　　其中 M_4 是降維成二維的四階矩 tensor，它是一個 n × n³ 階矩陣。有了投資組合的三階矩和四階矩的表達(dá)式，就可以和 Risk Parity 一樣，計(jì)算這些高階矩對于資產(chǎn)權(quán)重 ω_i 的偏導(dǎo)數(shù)，然后要求不同資產(chǎn)對于組合的不同階矩貢獻(xiàn)度相同。

　　依照這個思路，Baitinger, Dragosch, and Topalova (2017) 給出了資產(chǎn)配置的較優(yōu)化方程。下式中，ARC_{2, i}、ARC_{3, i}、ARC_{4, i} 分別表示資產(chǎn) i 對于投資組合 2、3、4 階矩的絕對風(fēng)險貢獻(xiàn)(ARC 全稱是 absolute risk contribution)。

　　

　　有小伙伴可能會注意到，上面較優(yōu)化問題中還有三個 λ。加入了三、四階矩的 Risk Parity 理論上希望資產(chǎn)權(quán)重同時滿足以下三個約束條件：

　　1. 所有資產(chǎn)在二階矩上風(fēng)險等貢獻(xiàn);

　　2. 所有資產(chǎn)在三階矩上風(fēng)險等貢獻(xiàn);

　　3. 所有資產(chǎn)在四階矩上風(fēng)險等貢獻(xiàn)。

　　在實(shí)際求解中，由于上述三個條件難以同時滿足，因此給每個約束加一個權(quán)重 λ，代表它們的重要性。比如，如果令 λ_2 = 1，λ_3 = λ_4 = 0，則上述問題退化為傳統(tǒng)的 Risk Parity 問題。在 Baitinger, Dragosch, and Topalova (2017) 一文中，這三位作者考慮里以下這些 λ 取值(其中 ERC_[1,0,0] 代表傳統(tǒng)的 Risk Parity 方式)。

　　

　　為了考察這些融合了高階矩的 Risk Parity 資產(chǎn)配置的表現(xiàn)，Baitinger, Dragosch, and Topalova (2017) 考慮了美股上的一些常見行業(yè)和風(fēng)格因子作為配置的標(biāo)的。除此之外，他們還考慮了一些模擬的資產(chǎn)。

　　

　　在比較不同方法的效果時，除了傳統(tǒng)的 Sharpe Ratio(下圖中 SR)，這三位作者還考慮了 Certainty Equivalent Returns(CER)。這是因?yàn)?SR 的計(jì)算也僅僅用到了二階矩，故無法很好的評價這些配置方法。下圖給出了考慮不同階風(fēng)險的 Risk Parity 方法在上述數(shù)據(jù)集上的配置效果(圖中 CER 后括號內(nèi)的數(shù)字表示不同的風(fēng)險厭惡系數(shù))。

　　

　　從上述結(jié)果來看，如果僅以 SR 來論的話，考慮了高階矩的 Risk Parity 和傳統(tǒng)的 Risk Parity 互有勝負(fù)、難分伯仲。以 CER 來評價的話則能從一定程度上體現(xiàn)出帶高階矩信息的 Risk Parity 的優(yōu)勢。對于上述實(shí)證結(jié)果以及更多的仿真數(shù)據(jù)集分析結(jié)果，Baitinger, Dragosch, and Topalova (2017) 總結(jié)道：在收益分布存在明顯尖峰肥尾特征、且資產(chǎn)間相關(guān)性更高的情況下，帶高階矩信息的 Risk Parity 將能夠比 Risk Parity 有更好的表現(xiàn)。

　　這些結(jié)果表明帶高階矩的 Risk Parity 是一個值得繼續(xù)深入研究的方向。

　　4、結(jié)語

　　本文花了不小的篇幅探討了將尾部風(fēng)險融合到 Risk Parity 進(jìn)行資產(chǎn)配置的方法。

　　利用高階矩從而尋求更好的資產(chǎn)配置決策一直是學(xué)術(shù)界研究的重點(diǎn)。例如，Harvey et al. (2010) 就提出一個貝葉斯框架把高階矩信息融合到馬科維茨的均值——方差較優(yōu)化問題中。

　　由于估計(jì)誤差隨階數(shù)非線性增大，因此四階以上的矩在實(shí)際中用處有限(Fabozzi et al. 2007)，所以學(xué)術(shù)界和業(yè)界把目光集中到了三階矩和四階矩上。希望在這方面，本文的介紹能帶給各位一些啟發(fā)。

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　　參考文獻(xiàn)

　　Arnott, R., C. R. Harvey, V. Kalesnik, and J. Linnainmaa (2019). Alice’s adventures in factorland: three blunders that plague factor investing. The Journal of Portfolio Management, Vol. 45(4), 18 – 36.

　　Athayde, G. N. and R. G. Flores (2003). Incorporating skewness and kurtosis in portfolio optimization: a multidimensional efficient set. In Advances in Portfolio Construction and Implementation, edited by S. Satchell and A. Scowcroft, 243 – 257, Oxford: Elsevier.

　　Baitinger E., A. Dragosch, and A. Topalova (2017). Extending the risk parity approach to higher moments: is there any value added? The Journal of Portfolio Management, Vol. 43(2), 24 – 36.

　　Fabozzi, J. F., P. N. Kolm, A. P. Pachamanova, and S. M. Focardi (2007). Robust portfolio optimization and management. New Jersey, Hoboken: John Wiley and Sons.

　　Harvey, C. R., J. C. Liechty, M. W. Liechty, and P. Muller (2010). Portfolio selection with higher moments.Quantitative Finance, Vol. 10(5), 469 – 485.

　　

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作者：石川，量信投資創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士;精通各種概率模型和統(tǒng)計(jì)方法，擅長不確定性隨機(jī)系統(tǒng)的建模及優(yōu)化。知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。未經(jīng)授權(quán)，嚴(yán)禁轉(zhuǎn)載

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