摘要

　　趨勢追蹤策略成功的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)臅r間尺度、倉位控制、投資組合構(gòu)建以及風(fēng)險管理等要素。與這些相比，具體使用哪個方法來計算趨勢則沒那么重要。

　　1、引言

　　市場中有句老話“趨勢是你的朋友”。無論是表現(xiàn)不俗的 CTA 策略還是股票市場的動量因子，都是依靠追蹤趨勢而構(gòu)建的成功策略的典范。

　　而在技術(shù)層面，各種捕捉趨勢的方法也是層出不窮：基于收益率的時序動量、來自技術(shù)分析的均線交叉或通道突破、各種 state space 模型比如卡爾曼濾波、基于價格的線性回歸、甚至是頻域分析(如傅里葉變換、小波分析等，見《頻域分析，難覓上帝奏出的旋律》)。

　　當(dāng)某種方法的回測結(jié)果不是那么給力的時候，人們的第一反應(yīng)總是尋找下一個(更復(fù)雜)的方法來計算趨勢。然而究其核心，上述方法都是基于價格或者收益率的時間序列計算出來的，真的有哪種方法或者指標(biāo)顯著優(yōu)于其他方法嗎?這就是本文關(guān)心的問題。

　　為了回答這個問題，Levine and Pedersen (2016) 提出了 trend signature plots(趨勢簽名圖)這個概念。其目的是把不同計算趨勢的方法繪制成價格或者收益率的權(quán)重隨時間變化的函數(shù)，以此來橫向比較不同的趨勢指標(biāo)。

　　下面就來用時序動量和均線交叉來解釋 trend signature plots。

　　2、時序動量 vs 均線交叉

　　為了便于討論和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，假設(shè)我們考慮對數(shù)價格 —— 因為對數(shù)價格的差分就是對數(shù)收益率，這樣就可以非常簡單的在價格和收益率之間轉(zhuǎn)換，從而比較不同的趨勢計算方法。

　　時序動量一般的計算方法為使用過去一段時間的收益率進(jìn)行加權(quán)平均(通常的做法是等權(quán))，以此得到趨勢指標(biāo)。假設(shè)當(dāng)前時刻為 t，則 t 時刻的時序動量(time series momemtum)指標(biāo) TSMOM_t 可以寫成如下形式：

　　

　　為不失一般性，上式寫成了無窮級數(shù)的形式。在實際應(yīng)用中，對于給定的計算窗口 N，只需要令所有 s > N 的權(quán)重 c_s 等于零即可。

　　再來看看均線交叉(moving average crossover)。它是使用快、慢兩個均線構(gòu)成的趨勢指標(biāo)。每個均線都是給定窗口內(nèi)價格序列的加權(quán)平均(因權(quán)重不同可以有簡單移動平均、指數(shù)移動平均等)，趨勢信號則是快、慢兩個均線之差。均線交叉的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

　　

　　直觀比較 TSMOM 和 MACROSS 兩個計算趨勢的方法，它們看上去似乎差別很大。但是，通過簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn) MACROSS 可以很容易的表達(dá)為收益率序列按照某種特定權(quán)重加權(quán)的組合。具體來說，從 TSMOM 的定義出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為如下形式：

　　

　　比較上式和 MACROSS 的定義就可以看到收益率的權(quán)重 c_s 和 MACROSS 權(quán)重 w_s^{fast} 及 w_s^{slow} 之間的關(guān)聯(lián)：

　　

　　該結(jié)果意味著，只要按照上述 c_s 對收益率進(jìn)行加權(quán)平均，得到的趨勢信號就等價于均線交叉。利用這種等價性就可以把不同的趨勢計算方法繪制成不同時刻收益率的權(quán)重隨 s 的變化，以此得到 trend signature plot。需要指出的是，通過轉(zhuǎn)換價格權(quán)重得到的收益率權(quán)重序列之和并不等于 1。為了比較不同方法的 trend signature plots，需要對收益率權(quán)重進(jìn)行歸一化處理。

　　上述基于均線交叉的推導(dǎo)也可以推廣到更一般的情況。假設(shè)某種趨勢計算方法是價格序列的加權(quán)：Σw_iP_i，則其對應(yīng)的收益率加權(quán)系數(shù)為：

　　

　　其中 A 是將 c_s 序列歸一化的系數(shù)。下圖展示了三種不同方法的 trend signature plots(橫坐標(biāo)最左側(cè) s = 0 代表著最新的時刻、橫坐標(biāo)增大代表時序 lag 增大)，它們分別為：

　　1. 窗口為 260 個交易日、使用等權(quán)重計算的 TSMOM 信號;

　　2. 窗口分別為 20 和 260 日的簡單移動平均線計算的均線交叉信號;

　　3. 質(zhì)心(center of mass)分別為 32 和 128 的指數(shù)移動平均計算的均線交叉信號。

　　

　　從上圖不難看出，盡管時序動量和均線交叉聽起來截然不同，但它們背后的趨勢簽名其實相差的并不大;而同屬于均線交叉的簡單平均和指數(shù)平均，它們之間的相似性就更高了 —— 這說明如果簡單移動平均的效果不好而寄希望于指數(shù)移動平均發(fā)揮什么神奇的效果，實在是有些不切實際。

　　3、其他線性算法

　　本節(jié)再來考慮其他兩種常見的計算趨勢的線性方法：卡爾曼濾波(Kalman 1960)和線性回歸。

　　卡爾曼濾波是一種從帶噪聲的動態(tài)線性系統(tǒng)中估計隱含狀態(tài)的有效方法。以價格序列為例，最簡單的模型是 random walk + local trend，而 trend 的取值是不可觀測的，需要使用卡爾曼濾波來估計。Harvey (1984) 指出，當(dāng)使用卡爾曼濾波分析 local trend 模型時，對 local trend 的較優(yōu)估計是收益率序列的指數(shù)移動平均。

　　下圖比較了三種不同趨勢計算方法的 trend signature plots：

　　1. 窗口為 260 個交易日、使用等權(quán)重計算的 TSMOM 信號;

　　2. 質(zhì)心(center of mass)分別為 32 和 128 的指數(shù)移動平均計算的均線交叉信號;

　　3. 使用質(zhì)心為 96 的指數(shù)平滑代表的卡爾曼濾波趨勢信號。

　　

　　相比較其他兩種方法，卡爾曼濾波偏重于賦予近期的收益率更高的權(quán)重。其他常見線性濾波器還有 HP filter(Hodrick and Prescott 1997)，也可以得到類似的結(jié)果，這里不再贅述。

　　再來看看 OLS 線性回歸。以下圖為例，線性回歸使用過去一段時間的價格序列在時序上進(jìn)行線性擬合 P_s = α + βs + ε;回歸系數(shù) β 的正負(fù)則代表著趨勢上漲或者下降。

　　

　　具體而言，假設(shè)用于回歸的(對數(shù))價格序列窗口為 N，則 N 對樣本點(diǎn)分別為 (1, P_{t-N+1}), (2, P_{t-N+2}), …, (N-1, P_{t-1}), (N, P_t)。由 OLS 的定義可知，β 的估計值為：

　　

　　其中 \bar P 是 N 期價格均值。此外，通過簡單的代數(shù)運(yùn)算可知：

　　

　　因此，β 的估計值可以進(jìn)一步簡化為如下形式：

　　

　　上式說明，β 的估計值是價格序列的線性加權(quán)。因此我們可以利用上一節(jié)提到的處理方法將它轉(zhuǎn)化為收益率加權(quán)，從而得到 trend signature plot。

　　最后，下圖比較了三種不同趨勢計算方法的 trend signature plots，說明 OLS 計算的趨勢信號和 TSMOM 以及 MACROSS 并無本質(zhì)的區(qū)別：

　　1. 窗口為 260 個交易日、使用等權(quán)重計算的 TSMOM 信號;

　　2. 窗口分別為 20 和 260 日的簡單移動平均線計算的均線交叉信號;

　　3. 線性回歸 OLS 得到的趨勢信號。

　　

　　在本小節(jié)和上一節(jié)的對比中，我們在選取不同趨勢計算方法的參數(shù)時，刻意要求它們計算趨勢的時間尺度是相同的(只有這樣的比較才有意義)。這一點(diǎn)是非常重要的，它說明一旦選定了時間尺度，則不同的趨勢計算方法的效果非常接近。歸根到底，這些趨勢計算方法都可以轉(zhuǎn)化成各自的 trend signature plot 來表示，雖然它們的形態(tài)有些差異，但其本質(zhì)仍然都是收益率的某種加權(quán)平均。

　　4、一個例子

　　本節(jié)使用 Levine and Pedersen (2016) 的例子來對比 TSMOM 和 MACROSS 兩種方法，并說明對于趨勢策略，計算趨勢的時間尺度遠(yuǎn)比給定尺度下選擇哪種計算方法更重要。

　　具體來說，針對這兩種方法，分別考慮一個月、三個月和一年這三個時間尺度。投資標(biāo)的來自 Moskowitz et al. (2012) 中提及的 58 種資產(chǎn)(包括商品期貨、債券、股票和外匯)。根據(jù)這三個時間尺度，分別選擇 TSMOM 和 MACROSS 的參數(shù)如下(MACROSS 中的快、慢均線均使用指數(shù)移動平均，參數(shù)表示快、慢均線的質(zhì)心)：

　　

　　使用這些方法構(gòu)建的趨勢追蹤策略的收益率、波動率以及夏普率如下表所示。

　　

　　上述結(jié)果說明，對于給定的時間尺度，TSMOM 和 MACROSS 兩種方法的結(jié)果非常接近;而選擇正確的計算趨勢的時間尺度則有助于提高策略的收益率和夏普率。

　　最后，我們可以通過回歸進(jìn)一步比較這兩種方法。具體的，使用三個 TSMOM 策略作為解釋變量來分別解釋每一個 MACROSS 策略;反之用三個 MACROSS 策略作為解釋變量來逐一解釋 TSMOM 策略?；貧w結(jié)果如下。

　　

　　從上面的結(jié)果可以解讀出如下信息：

　　1. 這六個回歸的 R-squared 都很高，說明這兩種方法很高的相似性;

　　2. 對于每一個級別的信號，解釋變量中最顯著的恰好是和它同級別的另一種方法計算的信號;

　　3. 從截距來看，TSMOM 信號似乎有 MACROSS 無法解釋的 α。

　　對于第三點(diǎn)，它并不說明 TSMOM 就比 MACROSS 更好。造成這種現(xiàn)象的原因是，三個 TSMOM 信號的 trend signature plots 的組合可以更好的模擬每一個 MACROSS 的 trend signature plot;而反觀 MACROSS，它們的 trend signature plots 無法很好的逼近 TSMOM 的 trend signature plot(下圖)。

　　

　　5、結(jié)語

　　趨勢追蹤策略成功的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)臅r間尺度、倉位控制、投資組合構(gòu)建以及風(fēng)險管理等要素。與這些相比，具體使用哪個指標(biāo)或者方法來計算趨勢則沒那么重要。

　　如果你因為文章的標(biāo)題而點(diǎn)進(jìn)來并希望看到哪個指標(biāo)主宰其他的話，那么我向你表示歉意，可能讓你失望了。但是希望本文能帶給你一些別的啟發(fā)。隨著對趨勢策略的進(jìn)一步理解，我們就可以把有限的精力用到更重要的地方 —— 如倉位控制、風(fēng)險管理這些 —— 提高趨勢策略的風(fēng)險收益特征。

　　“The trend is your friend except at the end where it bends.”

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　　參考文獻(xiàn)

　　Harvey, A. C. (1984). A unified view of statistical forecasting procedures.Journal of Forecasting, Vol. 3(3), 245 – 275.

　　Hodrick, R. J. and E. C. Prescott (1997). Postwar U.S. business cycles: an empirical investigation. Journal of Money, Credit, and Banking, Vol. 29(1), 1 – 16.

　　Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering, Vol. 82(1), 35 – 45.

　　Levine, A. and L. H. Pedersen (2016). Which trend is your friend? Financial Analysts Journal, Vol. 72(3), 51 – 66.

　　Moskowitz, T., Y. H. Ooi, and L. H. Pedersen (2012). Time Series Momentum. Journal of Financial Economics, Vol. 104(2), 228 – 250.

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　　作者：石川，量信投資創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士;精通各種概率模型和統(tǒng)計方法，擅長不確定性隨機(jī)系統(tǒng)的建模及優(yōu)化。知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。未經(jīng)授權(quán)，嚴(yán)禁轉(zhuǎn)載。