摘要

　　趨勢(shì)追蹤策略成功的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)間尺度、倉位控制、投資組合構(gòu)建以及風(fēng)險(xiǎn)管理等要素。與這些相比，具體使用哪個(gè)方法來計(jì)算趨勢(shì)則沒那么重要。

　　1、引言

　　市場(chǎng)中有句老話“趨勢(shì)是你的朋友”。無論是表現(xiàn)不俗的 CTA 策略還是股票市場(chǎng)的動(dòng)量因子，都是依靠追蹤趨勢(shì)而構(gòu)建的成功策略的典范。

　　而在技術(shù)層面，各種捕捉趨勢(shì)的方法也是層出不窮：基于收益率的時(shí)序動(dòng)量、來自技術(shù)分析的均線交叉或通道突破、各種 state space 模型比如卡爾曼濾波、基于價(jià)格的線性回歸、甚至是頻域分析(如傅里葉變換、小波分析等，見《頻域分析，難覓上帝奏出的旋律》)。

　　當(dāng)某種方法的回測(cè)結(jié)果不是那么給力的時(shí)候，人們的第一反應(yīng)總是尋找下一個(gè)(更復(fù)雜)的方法來計(jì)算趨勢(shì)。然而究其核心，上述方法都是基于價(jià)格或者收益率的時(shí)間序列計(jì)算出來的，真的有哪種方法或者指標(biāo)顯著優(yōu)于其他方法嗎?這就是本文關(guān)心的問題。

　　為了回答這個(gè)問題，Levine and Pedersen (2016) 提出了 trend signature plots(趨勢(shì)簽名圖)這個(gè)概念。其目的是把不同計(jì)算趨勢(shì)的方法繪制成價(jià)格或者收益率的權(quán)重隨時(shí)間變化的函數(shù)，以此來橫向比較不同的趨勢(shì)指標(biāo)。

　　下面就來用時(shí)序動(dòng)量和均線交叉來解釋 trend signature plots。

　　2、時(shí)序動(dòng)量 vs 均線交叉

　　為了便于討論和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，假設(shè)我們考慮對(duì)數(shù)價(jià)格 —— 因?yàn)閷?duì)數(shù)價(jià)格的差分就是對(duì)數(shù)收益率，這樣就可以非常簡(jiǎn)單的在價(jià)格和收益率之間轉(zhuǎn)換，從而比較不同的趨勢(shì)計(jì)算方法。

　　時(shí)序動(dòng)量一般的計(jì)算方法為使用過去一段時(shí)間的收益率進(jìn)行加權(quán)平均(通常的做法是等權(quán))，以此得到趨勢(shì)指標(biāo)。假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為 t，則 t 時(shí)刻的時(shí)序動(dòng)量(time series momemtum)指標(biāo) TSMOM_t 可以寫成如下形式：

　　

　　為不失一般性，上式寫成了無窮級(jí)數(shù)的形式。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于給定的計(jì)算窗口 N，只需要令所有 s > N 的權(quán)重 c_s 等于零即可。

　　再來看看均線交叉(moving average crossover)。它是使用快、慢兩個(gè)均線構(gòu)成的趨勢(shì)指標(biāo)。每個(gè)均線都是給定窗口內(nèi)價(jià)格序列的加權(quán)平均(因權(quán)重不同可以有簡(jiǎn)單移動(dòng)平均、指數(shù)移動(dòng)平均等)，趨勢(shì)信號(hào)則是快、慢兩個(gè)均線之差。均線交叉的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

　　

　　直觀比較 TSMOM 和 MACROSS 兩個(gè)計(jì)算趨勢(shì)的方法，它們看上去似乎差別很大。但是，通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn) MACROSS 可以很容易的表達(dá)為收益率序列按照某種特定權(quán)重加權(quán)的組合。具體來說，從 TSMOM 的定義出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為如下形式：

　　

　　比較上式和 MACROSS 的定義就可以看到收益率的權(quán)重 c_s 和 MACROSS 權(quán)重 w_s^{fast} 及 w_s^{slow} 之間的關(guān)聯(lián)：

　　

　　該結(jié)果意味著，只要按照上述 c_s 對(duì)收益率進(jìn)行加權(quán)平均，得到的趨勢(shì)信號(hào)就等價(jià)于均線交叉。利用這種等價(jià)性就可以把不同的趨勢(shì)計(jì)算方法繪制成不同時(shí)刻收益率的權(quán)重隨 s 的變化，以此得到 trend signature plot。需要指出的是，通過轉(zhuǎn)換價(jià)格權(quán)重得到的收益率權(quán)重序列之和并不等于 1。為了比較不同方法的 trend signature plots，需要對(duì)收益率權(quán)重進(jìn)行歸一化處理。

　　上述基于均線交叉的推導(dǎo)也可以推廣到更一般的情況。假設(shè)某種趨勢(shì)計(jì)算方法是價(jià)格序列的加權(quán)：Σw_iP_i，則其對(duì)應(yīng)的收益率加權(quán)系數(shù)為：

　　

　　其中 A 是將 c_s 序列歸一化的系數(shù)。下圖展示了三種不同方法的 trend signature plots(橫坐標(biāo)最左側(cè) s = 0 代表著最新的時(shí)刻、橫坐標(biāo)增大代表時(shí)序 lag 增大)，它們分別為：

　　1. 窗口為 260 個(gè)交易日、使用等權(quán)重計(jì)算的 TSMOM 信號(hào);

　　2. 窗口分別為 20 和 260 日的簡(jiǎn)單移動(dòng)平均線計(jì)算的均線交叉信號(hào);

　　3. 質(zhì)心(center of mass)分別為 32 和 128 的指數(shù)移動(dòng)平均計(jì)算的均線交叉信號(hào)。

　　

　　從上圖不難看出，盡管時(shí)序動(dòng)量和均線交叉聽起來截然不同，但它們背后的趨勢(shì)簽名其實(shí)相差的并不大;而同屬于均線交叉的簡(jiǎn)單平均和指數(shù)平均，它們之間的相似性就更高了 —— 這說明如果簡(jiǎn)單移動(dòng)平均的效果不好而寄希望于指數(shù)移動(dòng)平均發(fā)揮什么神奇的效果，實(shí)在是有些不切實(shí)際。

　　3、其他線性算法

　　本節(jié)再來考慮其他兩種常見的計(jì)算趨勢(shì)的線性方法：卡爾曼濾波(Kalman 1960)和線性回歸。

　　卡爾曼濾波是一種從帶噪聲的動(dòng)態(tài)線性系統(tǒng)中估計(jì)隱含狀態(tài)的有效方法。以價(jià)格序列為例，最簡(jiǎn)單的模型是 random walk + local trend，而 trend 的取值是不可觀測(cè)的，需要使用卡爾曼濾波來估計(jì)。Harvey (1984) 指出，當(dāng)使用卡爾曼濾波分析 local trend 模型時(shí)，對(duì) local trend 的較優(yōu)估計(jì)是收益率序列的指數(shù)移動(dòng)平均。

　　下圖比較了三種不同趨勢(shì)計(jì)算方法的 trend signature plots：

　　1. 窗口為 260 個(gè)交易日、使用等權(quán)重計(jì)算的 TSMOM 信號(hào);

　　2. 質(zhì)心(center of mass)分別為 32 和 128 的指數(shù)移動(dòng)平均計(jì)算的均線交叉信號(hào);

　　3. 使用質(zhì)心為 96 的指數(shù)平滑代表的卡爾曼濾波趨勢(shì)信號(hào)。

　　

　　相比較其他兩種方法，卡爾曼濾波偏重于賦予近期的收益率更高的權(quán)重。其他常見線性濾波器還有 HP filter(Hodrick and Prescott 1997)，也可以得到類似的結(jié)果，這里不再贅述。

　　再來看看 OLS 線性回歸。以下圖為例，線性回歸使用過去一段時(shí)間的價(jià)格序列在時(shí)序上進(jìn)行線性擬合 P_s = α + βs + ε;回歸系數(shù) β 的正負(fù)則代表著趨勢(shì)上漲或者下降。

　　

　　具體而言，假設(shè)用于回歸的(對(duì)數(shù))價(jià)格序列窗口為 N，則 N 對(duì)樣本點(diǎn)分別為 (1, P_{t-N+1}), (2, P_{t-N+2}), …, (N-1, P_{t-1}), (N, P_t)。由 OLS 的定義可知，β 的估計(jì)值為：

　　

　　其中 \bar P 是 N 期價(jià)格均值。此外，通過簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算可知：

　　

　　因此，β 的估計(jì)值可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為如下形式：

　　

　　上式說明，β 的估計(jì)值是價(jià)格序列的線性加權(quán)。因此我們可以利用上一節(jié)提到的處理方法將它轉(zhuǎn)化為收益率加權(quán)，從而得到 trend signature plot。

　　最后，下圖比較了三種不同趨勢(shì)計(jì)算方法的 trend signature plots，說明 OLS 計(jì)算的趨勢(shì)信號(hào)和 TSMOM 以及 MACROSS 并無本質(zhì)的區(qū)別：

　　1. 窗口為 260 個(gè)交易日、使用等權(quán)重計(jì)算的 TSMOM 信號(hào);

　　2. 窗口分別為 20 和 260 日的簡(jiǎn)單移動(dòng)平均線計(jì)算的均線交叉信號(hào);

　　3. 線性回歸 OLS 得到的趨勢(shì)信號(hào)。

　　

　　在本小節(jié)和上一節(jié)的對(duì)比中，我們?cè)谶x取不同趨勢(shì)計(jì)算方法的參數(shù)時(shí)，刻意要求它們計(jì)算趨勢(shì)的時(shí)間尺度是相同的(只有這樣的比較才有意義)。這一點(diǎn)是非常重要的，它說明一旦選定了時(shí)間尺度，則不同的趨勢(shì)計(jì)算方法的效果非常接近。歸根到底，這些趨勢(shì)計(jì)算方法都可以轉(zhuǎn)化成各自的 trend signature plot 來表示，雖然它們的形態(tài)有些差異，但其本質(zhì)仍然都是收益率的某種加權(quán)平均。

　　4、一個(gè)例子

　　本節(jié)使用 Levine and Pedersen (2016) 的例子來對(duì)比 TSMOM 和 MACROSS 兩種方法，并說明對(duì)于趨勢(shì)策略，計(jì)算趨勢(shì)的時(shí)間尺度遠(yuǎn)比給定尺度下選擇哪種計(jì)算方法更重要。

　　具體來說，針對(duì)這兩種方法，分別考慮一個(gè)月、三個(gè)月和一年這三個(gè)時(shí)間尺度。投資標(biāo)的來自 Moskowitz et al. (2012) 中提及的 58 種資產(chǎn)(包括商品期貨、債券、股票和外匯)。根據(jù)這三個(gè)時(shí)間尺度，分別選擇 TSMOM 和 MACROSS 的參數(shù)如下(MACROSS 中的快、慢均線均使用指數(shù)移動(dòng)平均，參數(shù)表示快、慢均線的質(zhì)心)：

　　

　　使用這些方法構(gòu)建的趨勢(shì)追蹤策略的收益率、波動(dòng)率以及夏普率如下表所示。

　　

　　上述結(jié)果說明，對(duì)于給定的時(shí)間尺度，TSMOM 和 MACROSS 兩種方法的結(jié)果非常接近;而選擇正確的計(jì)算趨勢(shì)的時(shí)間尺度則有助于提高策略的收益率和夏普率。

　　最后，我們可以通過回歸進(jìn)一步比較這兩種方法。具體的，使用三個(gè) TSMOM 策略作為解釋變量來分別解釋每一個(gè) MACROSS 策略;反之用三個(gè) MACROSS 策略作為解釋變量來逐一解釋 TSMOM 策略?；貧w結(jié)果如下。

　　

　　從上面的結(jié)果可以解讀出如下信息：

　　1. 這六個(gè)回歸的 R-squared 都很高，說明這兩種方法很高的相似性;

　　2. 對(duì)于每一個(gè)級(jí)別的信號(hào)，解釋變量中最顯著的恰好是和它同級(jí)別的另一種方法計(jì)算的信號(hào);

　　3. 從截距來看，TSMOM 信號(hào)似乎有 MACROSS 無法解釋的 α。

　　對(duì)于第三點(diǎn)，它并不說明 TSMOM 就比 MACROSS 更好。造成這種現(xiàn)象的原因是，三個(gè) TSMOM 信號(hào)的 trend signature plots 的組合可以更好的模擬每一個(gè) MACROSS 的 trend signature plot;而反觀 MACROSS，它們的 trend signature plots 無法很好的逼近 TSMOM 的 trend signature plot(下圖)。

　　

　　5、結(jié)語

　　趨勢(shì)追蹤策略成功的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)間尺度、倉位控制、投資組合構(gòu)建以及風(fēng)險(xiǎn)管理等要素。與這些相比，具體使用哪個(gè)指標(biāo)或者方法來計(jì)算趨勢(shì)則沒那么重要。

　　如果你因?yàn)槲恼碌臉?biāo)題而點(diǎn)進(jìn)來并希望看到哪個(gè)指標(biāo)主宰其他的話，那么我向你表示歉意，可能讓你失望了。但是希望本文能帶給你一些別的啟發(fā)。隨著對(duì)趨勢(shì)策略的進(jìn)一步理解，我們就可以把有限的精力用到更重要的地方 —— 如倉位控制、風(fēng)險(xiǎn)管理這些 —— 提高趨勢(shì)策略的風(fēng)險(xiǎn)收益特征。

　　“The trend is your friend except at the end where it bends.”

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　　參考文獻(xiàn)

　　Harvey, A. C. (1984). A unified view of statistical forecasting procedures.Journal of Forecasting, Vol. 3(3), 245 – 275.

　　Hodrick, R. J. and E. C. Prescott (1997). Postwar U.S. business cycles: an empirical investigation. Journal of Money, Credit, and Banking, Vol. 29(1), 1 – 16.

　　Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering, Vol. 82(1), 35 – 45.

　　Levine, A. and L. H. Pedersen (2016). Which trend is your friend? Financial Analysts Journal, Vol. 72(3), 51 – 66.

　　Moskowitz, T., Y. H. Ooi, and L. H. Pedersen (2012). Time Series Momentum. Journal of Financial Economics, Vol. 104(2), 228 – 250.

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　　作者：石川，量信投資創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士;精通各種概率模型和統(tǒng)計(jì)方法，擅長不確定性隨機(jī)系統(tǒng)的建模及優(yōu)化。知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。未經(jīng)授權(quán)，嚴(yán)禁轉(zhuǎn)載。