CFA一級數(shù)量分析在考試中占比為12%，是很重要的科目，也是其它很多課程的基礎。根據(jù)對歷年CFA考試重要考點難點和最新考試大綱的分析研究，CFA一級考試中對于數(shù)量的重難點考察集中于以下知識點：
常見的概率分布
抽樣與估計
假設檢驗
貨幣的時間價值
……
我們在進行投資決策時，逃不開和隨機變量打交道。我們已經(jīng)學過，所謂隨機變量，就是指隨機試驗中結果不確定的變量。比如一項投資的收益率，就是典型的隨機變量的實例。而要研究一個隨機變量的概率問題，我們就需要理解這個變量的概率分布。另外，不同性質和特點的隨機變量，會表現(xiàn)出不同的概率分布，所以在本節(jié)中，我們將從不同的變量類型出發(fā)，認識和學習一些在金融投資領域經(jīng)常用到的概率分布。
隨機變量的基本分類是離散隨機變量(discrete random variable)和連續(xù)隨機變量(continuous random variable)。
離散隨機變量：變量可能取到的結果個數(shù)是可數(shù)的(有限可數(shù)或者無限可數(shù))。
連續(xù)隨機變量：與離散隨機變量對比，連續(xù)隨機變量的結果不可數(shù)。
概率分布(probability distribution)：是用于描述一個隨機變量取到各種可能結果的概率規(guī)律。我們有兩種方法來觀察一個概率分布，一種是概率函數(shù)，另一種是累積分布函數(shù)。
概率函數(shù)(probability function)：表示隨機變量X取某一特定值x的概率，記為P(X=x)。對于離散隨機變量來說，概率函數(shù)的表達式通常寫為p(x)=P(X=x);對于連續(xù)隨機變量，其概率函數(shù)記為f(x)，叫做概率密度函數(shù)(probability density function, pdf)。
在實務中，我們常常更關心隨機變量取到某一范圍內值的概率，而非僅僅關心其取到某一特定值的概率，所以我們觀察概率分布的另一種方式就要用到累積分布函數(shù)。
累積分布函數(shù)(cumulative distribution function)：或簡稱分布函數(shù)，描述隨機變量X小于等于某一特定值x的概率，表示為F(x)=P(X≤x)。計算F(x)，需要將所有X取值小于等于x的概率相加。
仍以擲骰子為例，如果我們要求落地時骰子朝上點數(shù)小于等于4的概率，即F(4)=P(X≤4)= 1/6×4=2/3。
離散隨機變量
1離散均勻分布
離散均勻分布(the discrete uniform distribution)：所有概率分布中最簡單的一種。這種分布中，隨機變量可能取到的結果數(shù)目有限，并且取到每一個可能值的概率相等。
其實上文中我們舉的擲骰子的例子，就是一個離散均勻分布的實例。這個隨機變量只能取到1至6這六個整數(shù)，并且取到每一個數(shù)的概率都為1/6。
2二項式分布
伯努利隨機變量和二項隨機變量
在學習二項式分布(the binomial distribution)前，我們首先需要學習一個與該分布密切相關的變量類型——伯努利隨機變量(Bernoulli random variable)：在伯努里試驗(Bernoulli trial)中，結果有成功與失敗兩種可能，若結果成功則Y=1，結果失敗則Y=0，由此伯努利隨機變量Y的概率函數(shù)為：
p(1)=P(Y=1)=p;p(0)=P(Y=0)=1-p (5-2)
其中p是試驗成功(即Y=1)的概率。
接下來，做n次獨立的伯努里試驗，記結果成功(即Yi=1)的次數(shù)為X，這個X就是一個二項隨機變量(binomial random variable)：
X=Y1+Y2+…+Yn (i=1,2,…,n)
其中，Yi是第i次試驗的結果，成功就取1，失敗則取0。定義伯努利隨機變量的參數(shù)是p，而試驗次數(shù)n就是定義二項隨機變量的第二個參數(shù)。
用于描述二項隨機變量的分布，就是二項式分布，此分布有如下兩條假設：
成功的概率p對于所有試驗是恒定的(constant);
試驗與試驗之間是相互獨立的。
基于上述兩條假設，一個二項隨機變量X可以完全被兩個參數(shù)n和p描述，表達式為：X~B(n,p)。我們可以把伯努利隨機變量看成是一個n=1的二項隨機變量：Y~B(1,p)。
獨立試驗n次，成功x次，自然會失敗n-x次，如果每次成功的概率都為p，那么每次失敗的概率就為1-p，對于這樣一個二項隨機變量，成功x次的概率就是：
P(x)=P(X=x)= (nCx)px(1-p)n-x
二項隨機變量的均值和方差的一般表達式如下表所示
對于伯努利隨機變量來說，取值為1的概率為p，取值為0的概率為1-p，所以其期望值即為：
而其方差則為：
二項隨機變量就是n次伯努利試驗的結果，所以二項隨機變量也就是n個伯努利變量加總，其均值就為np，方差為np(1-p)。
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