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　　CFA一級數(shù)量分析在考試中占比為12%，是很重要的科目，也是其它很多課程的基礎(chǔ)。根據(jù)對歷年CFA考試重要考點(diǎn)難點(diǎn)和最新考試大綱的分析研究，CFA一級考試中對于數(shù)量的重難點(diǎn)考察集中于以下知識(shí)點(diǎn)：

　　常見的概率分布

　　抽樣與估計(jì)

　　假設(shè)檢驗(yàn)

　　貨幣的時(shí)間價(jià)值

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　　我們在進(jìn)行投資決策時(shí)，逃不開和隨機(jī)變量打交道。我們已經(jīng)學(xué)過，所謂隨機(jī)變量，就是指隨機(jī)試驗(yàn)中結(jié)果不確定的變量。比如一項(xiàng)投資的收益率，就是典型的隨機(jī)變量的實(shí)例。而要研究一個(gè)隨機(jī)變量的概率問題，我們就需要理解這個(gè)變量的概率分布。另外，不同性質(zhì)和特點(diǎn)的隨機(jī)變量，會(huì)表現(xiàn)出不同的概率分布，所以在本節(jié)中，我們將從不同的變量類型出發(fā)，認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)一些在金融投資領(lǐng)域經(jīng)常用到的概率分布。

　　隨機(jī)變量的基本分類是離散隨機(jī)變量(discrete random variable)和連續(xù)隨機(jī)變量(continuous random variable)。

　　離散隨機(jī)變量：變量可能取到的結(jié)果個(gè)數(shù)是可數(shù)的(有限可數(shù)或者無限可數(shù))。

　　連續(xù)隨機(jī)變量：與離散隨機(jī)變量對比，連續(xù)隨機(jī)變量的結(jié)果不可數(shù)。

　　概率分布(probability distribution)：是用于描述一個(gè)隨機(jī)變量取到各種可能結(jié)果的概率規(guī)律。我們有兩種方法來觀察一個(gè)概率分布，一種是概率函數(shù)，另一種是累積分布函數(shù)。

　　概率函數(shù)(probability function)：表示隨機(jī)變量X取某一特定值x的概率，記為P(X=x)。對于離散隨機(jī)變量來說，概率函數(shù)的表達(dá)式通常寫為p(x)=P(X=x);對于連續(xù)隨機(jī)變量，其概率函數(shù)記為f(x)，叫做概率密度函數(shù)(probability density function, pdf)。

　　在實(shí)務(wù)中，我們常常更關(guān)心隨機(jī)變量取到某一范圍內(nèi)值的概率，而非僅僅關(guān)心其取到某一特定值的概率，所以我們觀察概率分布的另一種方式就要用到累積分布函數(shù)。

　　累積分布函數(shù)(cumulative distribution function)：或簡稱分布函數(shù)，描述隨機(jī)變量X小于等于某一特定值x的概率，表示為F(x)=P(X≤x)。計(jì)算F(x)，需要將所有X取值小于等于x的概率相加。

　　仍以擲骰子為例，如果我們要求落地時(shí)骰子朝上點(diǎn)數(shù)小于等于4的概率，即F(4)=P(X≤4)= 1/6×4=2/3。

　　離散隨機(jī)變量

　　1離散均勻分布

　　離散均勻分布(the discrete uniform distribution)：所有概率分布中最簡單的一種。這種分布中，隨機(jī)變量可能取到的結(jié)果數(shù)目有限，并且取到每一個(gè)可能值的概率相等。

　　其實(shí)上文中我們舉的擲骰子的例子，就是一個(gè)離散均勻分布的實(shí)例。這個(gè)隨機(jī)變量只能取到1至6這六個(gè)整數(shù)，并且取到每一個(gè)數(shù)的概率都為1/6。

　　2二項(xiàng)式分布

　　伯努利隨機(jī)變量和二項(xiàng)隨機(jī)變量

　　在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式分布(the binomial distribution)前，我們首先需要學(xué)習(xí)一個(gè)與該分布密切相關(guān)的變量類型——伯努利隨機(jī)變量(Bernoulli random variable)：在伯努里試驗(yàn)(Bernoulli trial)中，結(jié)果有成功與失敗兩種可能，若結(jié)果成功則Y=1，結(jié)果失敗則Y=0，由此伯努利隨機(jī)變量Y的概率函數(shù)為：

　　p(1)=P(Y=1)=p;p(0)=P(Y=0)=1-p (5-2)

　　其中p是試驗(yàn)成功(即Y=1)的概率。

　　接下來，做n次獨(dú)立的伯努里試驗(yàn)，記結(jié)果成功(即Yi=1)的次數(shù)為X，這個(gè)X就是一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量(binomial random variable)：

　　X=Y1+Y2+…+Yn (i=1,2,…,n)

　　其中，Yi是第i次試驗(yàn)的結(jié)果，成功就取1，失敗則取0。定義伯努利隨機(jī)變量的參數(shù)是p，而試驗(yàn)次數(shù)n就是定義二項(xiàng)隨機(jī)變量的第二個(gè)參數(shù)。

　　用于描述二項(xiàng)隨機(jī)變量的分布，就是二項(xiàng)式分布，此分布有如下兩條假設(shè)：

　　成功的概率p對于所有試驗(yàn)是恒定的(constant);

　　試驗(yàn)與試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的。

　　基于上述兩條假設(shè)，一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量X可以完全被兩個(gè)參數(shù)n和p描述，表達(dá)式為：X~B(n,p)。我們可以把伯努利隨機(jī)變量看成是一個(gè)n=1的二項(xiàng)隨機(jī)變量：Y~B(1,p)。

　　獨(dú)立試驗(yàn)n次，成功x次，自然會(huì)失敗n-x次，如果每次成功的概率都為p，那么每次失敗的概率就為1-p，對于這樣一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量，成功x次的概率就是：

　　P(x)=P(X=x)= (nCx)px(1-p)n-x

　　二項(xiàng)隨機(jī)變量的均值和方差的一般表達(dá)式如下表所示