在CFA一到三級(jí)的知識(shí)點(diǎn)當(dāng)中，分布(Distribution)的應(yīng)用非常常見，在分布的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的偏度(Skewness)和峰度(Kurtosis)的概念，也頻繁地出現(xiàn)在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用當(dāng)中，而且在一二三級(jí)的CFA考試當(dāng)中，也是常常出現(xiàn)的考點(diǎn)。你有沒(méi)有在左偏還是右偏的問(wèn)題上搞混淆過(guò)呢?有沒(méi)有遇到過(guò)需要判斷尖峰肥尾、矮峰肥尾等形態(tài)的呢?如果有，這篇文章就一定能幫到你。
一、什么是偏度(Skewness)?
分布(Distribution)和正態(tài)分布(Normal Distribution)的概念想必大家都是知道的吧?我們就不贅述了，不清楚的請(qǐng)自行學(xué)習(xí)教材和Notes。我們直接開始討論分布的偏度(Skewness)。
偏度(Skewness)就是分布不對(duì)稱的程度。正態(tài)分布是完全對(duì)稱的，所以正態(tài)分布的偏度為零。但是現(xiàn)實(shí)中很多分布是不對(duì)稱的，有的偏向左邊，有的偏向右邊，所以就用偏度來(lái)衡量分布偏離的程度。
偏度是離群值(Outliers)導(dǎo)致的。離群值是那些正數(shù)中特別大或者負(fù)數(shù)中特別小的值，也就是絕對(duì)值特別大的值。從名字也可以看出來(lái)，這些數(shù)值特別不合群，不是特別大，就是特別小，有點(diǎn)離群索居的感覺(jué)，所以叫做離群值。
當(dāng)離群值在正數(shù)中特別大的時(shí)候，分布就是右偏(Positively Skewed)的，在分布的右側(cè)有一個(gè)長(zhǎng)尾;當(dāng)離群值在負(fù)數(shù)中特別小的時(shí)候，分布就是左偏(Negatively Skewed)的，在分布的左側(cè)有一個(gè)長(zhǎng)尾。說(shuō)起來(lái)很抽象，看圖就明白了。判斷左偏還是右偏是常見的CFA考點(diǎn)，其實(shí)只用看尾巴在哪邊，就可以判斷是往哪邊偏了。
對(duì)于對(duì)稱分布而言，其平均值、中位數(shù)和眾數(shù)都相同。
對(duì)于左偏分布而言，平均值 < 中位數(shù) < 眾數(shù)。
對(duì)于右偏分布而言，平均值 > 中位數(shù) > 眾數(shù)。
從平均值、中位數(shù)和眾數(shù)的大小比較重可以看出：(1)中位數(shù)永遠(yuǎn)都在中間。
(2)左偏分布的平均值在左邊，右偏分布的平均值在右邊(與離群值的位置有關(guān)，與因?yàn)殡x群值會(huì)導(dǎo)致平均值變小或變大);(3)與平均數(shù)相比，眾數(shù)正好反過(guò)來(lái)，左偏的眾數(shù)在右邊，右偏的眾數(shù)在左邊。這三點(diǎn)常常是CFA考試的出題點(diǎn)，請(qǐng)小伙伴們一定不要記混淆了。
二、怎么計(jì)算偏度(Skewness)?
前文都是對(duì)偏度進(jìn)行定性分析，那么偏度應(yīng)該怎么來(lái)衡量呢?先上公式。
在總體的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ難以獲得時(shí)，可以用樣本的均值`X和標(biāo)準(zhǔn)差s替代。
從偏度的計(jì)算公式中可以看出，偏度的分母永遠(yuǎn)是正數(shù)(偶數(shù)次方)，偏度的正負(fù)取決于分子。如果分子為正數(shù)，即為正偏;如果分子為負(fù)數(shù)，即為負(fù)偏。
一般來(lái)說(shuō)，偏度的絕對(duì)值超過(guò)0.5，意味著偏度非常大。在風(fēng)險(xiǎn)管理當(dāng)中，較大程度的負(fù)偏是需要格外關(guān)注的問(wèn)題，因?yàn)檫@可能導(dǎo)致大的損失的發(fā)生。
三、什么是峰度(Kurtosis)?
峰度(Kurtosis)是衡量某個(gè)分布相比正態(tài)分布而言，其峰值高低的程度。其中，尖峰態(tài)(Leptokurtic)就是比正態(tài)分布更尖的一種分布，低峰態(tài)(Platykurtic)是指沒(méi)有正態(tài)分布那么尖的一種分布，常峰態(tài)(Mesokurtic)就是峰值和正態(tài)分布相同的分布。圖示如下：
尖峰分布如果僅僅是尖峰就簡(jiǎn)單了，但是實(shí)際上，尖峰分布通常都會(huì)伴隨著肥尾一同出現(xiàn)，即“尖峰肥尾”，或“尖峰厚尾”。從下圖中可以看出，尖峰分布的峰(即平均值)和尾(即正負(fù)兩端)都比正態(tài)分布的概率高，而在其他地方都比正態(tài)分布的概率低。
尖峰分布的情況下，相比正態(tài)分布，有更多的收益率靠近均值，同時(shí)也有更多的收益率遠(yuǎn)離均值。在遠(yuǎn)離均值的情況下，就有可能出現(xiàn)極端的情況，導(dǎo)致產(chǎn)生非常大的收益或者非常大的損失，這在風(fēng)險(xiǎn)控制當(dāng)中是要尤為注意的問(wèn)題。
低峰態(tài)的情況和上圖正好相反，是低峰瘦尾。小伙伴們可以畫圖看看。
小伙伴們應(yīng)該也見過(guò)t分布吧?t分布和前面的尖峰態(tài)和低峰態(tài)的分布特別容易混淆。t分布是低峰肥尾，和尖峰態(tài)的尖峰肥尾、低峰態(tài)的低峰瘦尾都不相同。如下圖所示，紅色的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布，其他顏色是不同自由度的t分布。很明顯，t分布是低峰肥尾的特征。有時(shí)候考試也容易考到這一點(diǎn)。
四、怎么計(jì)算峰度(Kurtosis)?
峰度也有相應(yīng)的計(jì)算公式，如下：
與偏度的計(jì)算公式相同，在總體的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ難以獲得時(shí)，可以用樣本的均值`X和標(biāo)準(zhǔn)差s替代。峰度和偏度的計(jì)算公式非常相似，只是從3次方變成了4次方。
對(duì)于峰度而言，尖峰態(tài)的峰度大于3，低峰態(tài)的峰度小于3，而正態(tài)分布的峰度正好等于3。有的峰度的計(jì)算公式當(dāng)中，直接在計(jì)算公式中減去了3。那么就變成了尖峰態(tài)的峰度大于0，低峰態(tài)的峰度小于0，而正態(tài)分布的峰度等于0。
五、總結(jié)
對(duì)于峰度和偏度的理解，是CFA一二三級(jí)考試當(dāng)中常常出現(xiàn)的考點(diǎn)，特別是左偏右偏的判斷，以及尖峰肥尾的判斷。如果明白了的話，就可以很快做出來(lái);如果沒(méi)有理解到，那么就要費(fèi)時(shí)間了。CFA一二級(jí)考試都是客觀選擇題，CFA三級(jí)的下午部分也是客觀選擇題，平均到每道題的時(shí)間都很短，但是絕對(duì)不是每道題都花相等的時(shí)間完成的。如果能夠在這些基本概念上迅速完成選擇，那么就可以為其他稍難的或者計(jì)算量稍大的題目騰出更多時(shí)間，讓CFA考試過(guò)程更加從容。
看完偏度和峰度的內(nèi)容，小伙伴們有什么問(wèn)題嗎?歡迎大家在線咨詢哦!
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