在探討金融市場的動態(tài)與隨機性時，布朗運動（Brownian Motion）作為一個核心概念，為我們理解資產(chǎn)價格變動、風(fēng)險管理與金融衍生品定價提供了堅實的理論基礎(chǔ)。

1.隨機過程

實操中常使用隨機過程（stochastic process）建模資產(chǎn)價格，如股票價格、匯率、大宗商品價格等。這些資產(chǎn)的價格在一段時間內(nèi)通常會展現(xiàn)出隨機的、鋸齒狀的變動。一般來說，對于任何取值隨時間而變、且變化具有不確定性的變量，我們都稱其服從隨機過程。

隨機過程可被細(xì)分為離散時間（discrete time）形式與連續(xù)時間（continuous time）形式。顯而易見，對于離散時間隨機過程，變量的取值只能在特定時間點上發(fā)生變化，而對于連續(xù)時間隨機過程，變量取值的變化是無時無刻不在發(fā)生的。此外，我們亦可將隨機過程分為離散變量（discrete variable）形式與連續(xù)變量（continuous variable）形式。對于離散變量隨機過程，變量的取值是可列的，而對于連續(xù)變量隨機過程，變量的取值是不可列的。》》》CFA 報名條件及費用點我咨詢

期權(quán)定價理論的基礎(chǔ)即在于建模標(biāo)的資產(chǎn)價格所服從的隨機過程?，F(xiàn)實中，這些資產(chǎn)的價格大多服從離散變量-離散時間隨機過程（以股票價格為例，交易所對其價格變動設(shè)有最小變動單位，且只有在開盤時我們才能觀測到這些變動）。然而，理論上我們通常使用連續(xù)變量-連續(xù)時間隨機過程對資產(chǎn)價格進行建模，這些模型在實操中也有著較為優(yōu)良的表現(xiàn)。

2.布朗運動
布朗運動（Brownian motion）是建模資產(chǎn)價格隨機過程的基石。

它是一類連續(xù)變量-連續(xù)時間隨機過程，通常被記作，并具備如下特征：

即初始值為0；

服從一個均值為0、方差為的正態(tài)分布；

與相互獨立，即不重疊的增量之間相互獨立。

這些性質(zhì)意味著布朗運動是一個鞅（martingale）：即滿足的隨機過程。同時，布朗運動也是一個典型的隨機游走過程（random walk process）。
若我們?nèi)O限，考慮無窮小的時間區(qū)間，那么布朗運動的變化，記作，服從一個均值為0、方差為的正態(tài)分布。布朗運動的正態(tài)性可由中心極限定理（central limit theorem, CLT）解釋：我們可以將時間區(qū)間進一步拆分成n個子區(qū)間。

根據(jù)布朗運動的性質(zhì)，可得是n個獨立隨機變量的加總。因此，隨著n趨向于無窮，在極限處必然服從正態(tài)分布。
3.布朗運動的二次變差與總變差

布朗運動還具備著一些比較特殊的性質(zhì)。其在一段期間內(nèi)的二次變差（quadratic variation），即增量平方和，寫作

而更高階的變差全部為0。我們可以通過以下邏輯來簡單理解這些奇異的特征：布朗運動本身是由無限個無限小的增量構(gòu)成。如果我們對這些增量取平方，那么這些增量會變得更小、致使增量平方和是有限的。而在任意時間段內(nèi)，增量本身的數(shù)量是無限的，所以增量絕對值之和是無限的。》》》免費開通CFA 試聽課點我咨詢

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