今天要帶大家囫圇吞棗的部分是FRM二級(jí)有關(guān)利率二叉樹(shù)部分的計(jì)算。和一級(jí)相比個(gè)人覺(jué)得計(jì)算并不是很多，第一本書(shū)的計(jì)算除了相關(guān)性就是二叉樹(shù)這部分了。后面的幾本書(shū)中信用風(fēng)險(xiǎn)那部分還有些需要?jiǎng)幽X的計(jì)算，其余的部分理解概念之后計(jì)算并不復(fù)雜。
本文脈絡(luò)如下：
(一)什么二叉樹(shù)
(二)簡(jiǎn)單債券二叉樹(shù)計(jì)算
(三)簡(jiǎn)單債券期權(quán)的二叉樹(shù)計(jì)算
(四)利率互換的二叉樹(shù)計(jì)算
(五)二叉樹(shù)上利率的確定
(六)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)
(一)什么是二叉樹(shù)
翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)就是：要么...要么...
期權(quán)里面也有二叉樹(shù)計(jì)算，二級(jí)主要將其應(yīng)用在利率變化上面，以此計(jì)算債券價(jià)格，其實(shí)本質(zhì)是一樣的。我們知道債券價(jià)格主要是由利率決定的。那么二叉樹(shù)模擬的就是利率的變化?？聪旅娴膱D圖，模擬的是2年到期零息債券的收益率變化：
利率部分翻譯成人話就是：當(dāng)前利率4.5749%，下一期的利率要么7.1826%，要么5.3210%。
很多人會(huì)覺(jué)得這個(gè)模型很傻叉，太不符合現(xiàn)實(shí)了。在這里給二叉樹(shù)洗白一下：?jiǎn)纹诘亩鏄?shù)好傻呀，但是各位想象如果是多期呢?就像這樣：
這不就是個(gè)連續(xù)的過(guò)程么?如果把這個(gè)連續(xù)過(guò)程比作動(dòng)畫(huà)片的話，那么二叉樹(shù)就是一幀一幀的動(dòng)畫(huà)。還是簡(jiǎn)單通俗的那種，你說(shuō)他是不是個(gè)寶貝。當(dāng)然了二叉樹(shù)有很多缺點(diǎn)，大家可以后臺(tái)私信我，我們一起罵他。
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(二)簡(jiǎn)單債券二叉樹(shù)計(jì)算
價(jià)格部分如何計(jì)算呢：那就折現(xiàn)唄，我們知道2年到期的零息債券2年后直接給你100塊。兩年后現(xiàn)金流就是100，中間沒(méi)有任何現(xiàn)金流。親們記住一點(diǎn)，不管是債券，其他資產(chǎn)還是人生：現(xiàn)值都是未來(lái)現(xiàn)金流的折現(xiàn)。(夸我有哲理，憋了半天憋出來(lái)的雞湯呢!)那既然知道了你就折現(xiàn)唄，有一點(diǎn)需要注意：t=2時(shí)候?qū)?00進(jìn)行折現(xiàn)一定要用t=1的利率喲。為什么呢：因?yàn)槟阈枰趖=1的時(shí)候根據(jù)未來(lái)現(xiàn)金流計(jì)算當(dāng)前價(jià)格，如果你連t=2的時(shí)候的利率怎么變都知道，那還算個(gè)錘子啊。預(yù)測(cè)利率了，你咋不上天?!
就這樣依次折現(xiàn)，就能折出當(dāng)前的價(jià)格。有人問(wèn)了你后面兩個(gè)叉，咋就一個(gè)價(jià)格呀?因?yàn)橛猩仙拖陆档母怕事?，如果利率兩個(gè)叉發(fā)生的概率一樣，那就平均一下呀，就像這樣：
(三)簡(jiǎn)單債券期權(quán)的二叉樹(shù)期權(quán)
期權(quán)大家都知道是啥我就不贅述了，簡(jiǎn)單債券我們會(huì)定價(jià)了，那么這個(gè)債券的期權(quán)定價(jià)呢?請(qǐng)看下圖：
打?qū)μ?hào)的部分是我們之前就會(huì)算的，你看多貼心人家連上漲和下跌的概率都給你了，那還差啥不知道呢?Bingo! 就差每個(gè)框框里面的期權(quán)價(jià)格啦!
如果是看漲期權(quán)那么最后一列的期末現(xiàn)金流就是max(0,債券價(jià)格-行權(quán)價(jià)格)。期末現(xiàn)金流有了，利率還有了，于是乎問(wèn)題又回到了簡(jiǎn)單現(xiàn)金流折現(xiàn)上面。
注意啊：帶利息的債券在計(jì)算每一期現(xiàn)金流的時(shí)候別忘了把當(dāng)期的利息給人家加上去!
總結(jié)一下：債券期權(quán)價(jià)格定價(jià)方法：
(1)從最后一列往前推。(2)先計(jì)算最后一期的債券現(xiàn)金流 。(3)利用前文的簡(jiǎn)單債券定價(jià)方法計(jì)算每一期每個(gè)樹(shù)杈上面的債券價(jià)格。(4)再計(jì)算最后一期的期權(quán)現(xiàn)金流。(5)重復(fù)步驟3計(jì)算期權(quán)價(jià)格。
(四)利率互換的二叉樹(shù)計(jì)算
這部分我都不想說(shuō)了，為啥呢?因?yàn)橥耆粯友?。還是算最后一期的現(xiàn)金流然后往前推呀!唯一的難點(diǎn)就是你可能不知道現(xiàn)金流怎么算 (下圖的7%是隨便編的數(shù)字反正就是一個(gè)固定利率啦)：
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二叉樹(shù)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)別忘了加上當(dāng)期的現(xiàn)金流(互換/利息) (2)記得用前一期的利率去折現(xiàn)，否則能預(yù)測(cè)利率的你就牛叉大發(fā)了。
(五)二叉樹(shù)上利率的確定
之前的例子中，利率信息已經(jīng)給你了。為了讓題目更加變態(tài)一點(diǎn)，接下來(lái)就開(kāi)始確定利率了。這塊很多細(xì)小的知識(shí)點(diǎn)，但是終極內(nèi)涵萬(wàn)變不離其宗：
不管對(duì)方給你1當(dāng)前利率，遠(yuǎn)期利率還是n年當(dāng)前利率或者遠(yuǎn)期利率，記?。?/strong>
你是沒(méi)有套利空間的!!!在FRM里面：你用100元先在我這里存一年，然后到期連本帶息根據(jù)當(dāng)時(shí)的利率再存一年，和你直接存兩年我到期給你的錢(qián)是一樣的!沒(méi)有哪種存法更劃算一說(shuō)，不然銀行得多傻!
還有一些其他的利率期限結(jié)構(gòu)模型來(lái)確定利率：看起來(lái)可麻煩了。理解起來(lái)也不難。之前的二叉樹(shù)一年之后利率怎么變，基本都是6%，8%隨便猜倆數(shù)，人家都給你了。在稍微復(fù)雜點(diǎn)的期限結(jié)構(gòu)模型里面假設(shè)利率變化和方差以及時(shí)間t有關(guān)系，如下圖(那個(gè)飄逸項(xiàng)真的就和鬼一樣，一直在一直在)：
(六)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)
這部分書(shū)上有一堆計(jì)算，但是實(shí)際上都是在幫助你理解一個(gè)概念：風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)
大家看我們之前的計(jì)算：小小的二叉樹(shù)把一個(gè)債券安排的明明白白。
可是實(shí)際中哪里能預(yù)測(cè)這么準(zhǔn)呢?未來(lái)50%的可能收益率6%還有50%收益率10%，根據(jù)期望理論當(dāng)前的預(yù)期收益率8%。你這個(gè)8%是不確定下的8%，你計(jì)算的時(shí)候就拿這個(gè)給我折現(xiàn)算價(jià)格然后賣(mài)給我98塊錢(qián)。我不干啊，萬(wàn)一一年后利率上升價(jià)格下降我不就虧大發(fā)了。投資者不樂(lè)意了，那怎么辦啊，那就97賣(mài)你便宜點(diǎn)。97 得用9%折現(xiàn)才能得到這個(gè)數(shù)。這1%的差就是風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，因?yàn)槲页袚?dān)風(fēng)險(xiǎn)了你要給我補(bǔ)償。
通俗一點(diǎn)，你去超市買(mǎi)青蛙，人家說(shuō)這個(gè)青蛙一年后可能變成王子，但也有可能是真的青蛙。青蛙市場(chǎng)價(jià)100塊，王子那可就老貴了假設(shè)200塊吧。超市的人告訴你現(xiàn)在這個(gè)青蛙賣(mài)180，你肯定不樂(lè)意。一年之后變成王子你的收益是20塊，萬(wàn)一一年之后沒(méi)變成王子真是個(gè)青蛙那不就虧了。那咋辦人家就折價(jià)賣(mài)給你130，這還差不多，如果一年之后變成王子了，你就賺70塊了。這多出來(lái)的收益就是你的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，就是現(xiàn)在賣(mài)便宜點(diǎn)，反映在收益率上收益率變高了。
今天就到這里啦：這一部分對(duì)應(yīng)的是Kaplan book1 131-190之間的內(nèi)容呀。Kaplan book1 到這里就告一段落啦。有一些零零碎碎的知識(shí)點(diǎn)：比如對(duì)沖啊凸性呀寶寶就不給大家贅述啦。課后一定看書(shū)呀!
注：本系列的目的是考試通過(guò)，很多概念并沒(méi)有細(xì)說(shuō)。細(xì)節(jié)知識(shí)點(diǎn)還是要看書(shū)哈!
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