作者：石川，北京量信投資管理有限公司創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士。知乎專欄：
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摘要
本文以中證 500 為例對異質(zhì)波動率進(jìn)行了實證研究，觀察到低異質(zhì)波動率異象;在控制了其他常見因子后，異質(zhì)波動率依然能夠提供定價信息。
一、引言
異質(zhì)波動率(Idiosyncratic Volatility)是異質(zhì)風(fēng)險的一個代理變量。與系統(tǒng)性的市場風(fēng)險不同，異質(zhì)風(fēng)險被認(rèn)為是上市公司面對的特有風(fēng)險、是可以被分散化的。長久以來，大量的研究試圖搞清楚異質(zhì)波動率和股票預(yù)期收益率之間是否存在某種關(guān)系。
從實證分析來看，上述問題并無定論。早期的發(fā)現(xiàn)傾向認(rèn)為異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率之間存在正相關(guān)。然而在 2006 年，Ang et al. (2006) 在 Journal of Finance 上發(fā)表了一篇影響深遠(yuǎn)的文章，指出了異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率之間的負(fù)相關(guān) —— 即當(dāng)其他條件相同時，異質(zhì)波動率低的股票未來可能獲得更高的收益。
時至今日，Ang et al. (2006) 的引用已經(jīng)超過 3000 次，足見其影響力。它也同時掀起了學(xué)術(shù)界對異質(zhì)波動率的極大興致，而這其中也不乏反對之聲。Fu (2009) 在 Journal of Financial Economics 上撰文說 Ang et al. (2006) 發(fā)現(xiàn)的負(fù)相關(guān)源于一小撮高異質(zhì)波動率股票收益率的反轉(zhuǎn);Fu (2009) 使用 GARCH 模型對異質(zhì)波動率建模分析發(fā)現(xiàn)，它和預(yù)期收益率之間依然存在正相關(guān)。來自 Berkeley 的 Anderson, Bianchi, and Goldberg (2012) 指出，Ang et al. (2006) 中結(jié)果受到了數(shù)據(jù)中一個極端 outlier 的影響(1987 年 10 月)，排除該點后，Ang et al. (2006) 發(fā)現(xiàn)的關(guān)系不再顯著。
面對質(zhì)疑，Ang et al. (2009) 在 Journal of Financial Economics 上再次發(fā)文，通過來自美國和全球的更多實證結(jié)果說明異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率之間的負(fù)相關(guān)性。然而，也有研究表明，異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率之間到底是何種關(guān)系受到實證分析中很多因素的影響，因此難有定論(Bali and Cakici 2008)。
面對大量難以統(tǒng)一的實證結(jié)果，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 從不對稱套利的角度對(低)異質(zhì)波動率之謎進(jìn)行了解釋(針對美股)。他們指出，對于 overpriced 股票，異質(zhì)波動率和收益率呈現(xiàn)負(fù)相關(guān);反之，對于 underpriced 股票，二者呈現(xiàn)正相關(guān)。由于做空的限制造成對 overpriced 股票套利不充分，因此 overpriced 股票上的這種負(fù)相關(guān)比 underpriced 股票上的正相關(guān)更難被消除，綜合的結(jié)果就是在整個截面上觀察到負(fù)相關(guān)，即低異質(zhì)波動率異象。
本文以中證 500 指數(shù)成分股為例，對異質(zhì)波動率進(jìn)行實證研究。和其他針對 A 股的相關(guān)研究報告發(fā)現(xiàn)的結(jié)果相似，我們觀察到異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率之間的負(fù)相關(guān)性;依照低異質(zhì)波動率來構(gòu)建投資組合可以獲得傳統(tǒng)因子模型無法解釋的超額收益。此外，F(xiàn)ama-MacBeth regression 分析表明，異質(zhì)波動率能夠解釋個股預(yù)期收益率的差異。
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二、構(gòu)建因子
本文借鑒 Ang et al. (2009) 的方法構(gòu)建異質(zhì)波動率因子 ——將個股的收益率相對某給定多因子模型殘差的標(biāo)準(zhǔn)差作為異質(zhì)波動率因子。按照上述定義需要明確兩個問題：(1)多因子模型;(2)回歸獲得殘差以及計算殘差標(biāo)準(zhǔn)差的時間窗口。
在多因子模型方面，實證中選擇 Fama and French (2015) 五因子模型：
MKT：中證 500 指數(shù)的收益率，為了簡化沒有考慮其相對無風(fēng)險利率的超額收益;
SMB：做多流通市值小的一半、做空流通市值大的一半;
HML：做多 Book-to-Price 較高的 150 支、做空 Book-to-Price 最低的 150 支;
RMW：使用營業(yè)利潤與總資產(chǎn)之比從大到小排序，做多排名靠前的 150 支、做空排名靠后的 150 支;
CMA：使用總資產(chǎn)增長率從小到大排序，做多排名靠前的 150 支、做空排名靠后的 150 支。
按上述定義構(gòu)建這些因子的日頻收益率序列;構(gòu)建風(fēng)格因子的多空組合時，排除停牌股票并按等權(quán)配置(本文第五節(jié)會給出按市值加權(quán)配置的實證結(jié)果)。
有了多因子模型的日頻收益率就可以進(jìn)而計算個股的異質(zhì)波動率。具體來說，在每月最后一個交易日，使用之前 n 個交易日的個股收益率和上述因子收益率進(jìn)行時序回歸得到個股的殘差收益率，然后計算殘差收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為其異質(zhì)波動率。如何選擇 n 呢?
為了研究異質(zhì)波動率，我們希望上述五因子模型能夠盡可能解釋個股收益率在時序上的波動，即時序回歸的 R² 不能太小，否則研究的就不是異質(zhì)波動率而是波動率了。下圖顯示了 n 取過去 1 至 6 個月內(nèi)的交易日時，五因子模型對個股回歸的 R² 在截面上的均值隨時間的變化。
使用過去 1 到 6 個月的日頻收益率回歸，五因子模型均能較好的解釋個股收益率。當(dāng)然，回歸窗口越長樣本點就越多，從而造成五因子模型的解釋力度降低，這也符合預(yù)期。因此不能僅以 R² 高低作為選擇窗口的依據(jù)。
最終，我們選擇使用最近一個月的日頻收益率數(shù)據(jù)計算個股的異質(zhì)波動率。這種做法和 Ang et al. (2009) 一致。在計算中，如果某支個股因停牌導(dǎo)致其交易日少于當(dāng)月交易日的 80%，則將其剔除在外。
依照上述說明，在每月末構(gòu)建異質(zhì)波動率因子(記為 IVol)的方法如下：
1. 使用當(dāng)月個股日頻收益率和五因子模型的日頻收益率進(jìn)行時序回歸得到殘差收益率序列;
2. 計算殘差收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為該個股的異質(zhì)波動率因子;
3. 使用異質(zhì)波動率因子從小到大排序，做多排名靠前的 150 支、做空排名靠后的 150 支，等權(quán)配置;
4. 按月再平衡、不考慮任何成本;上述多、空對沖的投資組合就是 IVol 因子收益率。
實證期為 2011 年 1 月至 2019 年 3 月。下面來看結(jié)果。
三、實證結(jié)果
下圖顯示了四個投資組合在回測期內(nèi)的凈值曲線。其中藍(lán)色的 Market 代表中證 500 指數(shù);黃色 Long/Short 為多空對沖的組合，它便是 IVol 因子的投資組合;綠色 Long Only 代表 IVol 中的多頭組合(做多 150 支 IVol 最低的股票);最后紅色 Long/Market 代表 IVol 多頭組合相對市場的超額收益。
使用低異質(zhì)波動率戰(zhàn)勝了市場：IVol 多空組合的年化收益率為 11.37%(夏普率 1.24)、純多頭組合的年化收益率為 9.74%(夏普率 0.47);同期中證 500 指數(shù)的年化收益率僅為 1.42%。不過從上圖中也能看到，從 2017 年以來，IVol 的純多頭組合并沒有戰(zhàn)勝指數(shù)。
如果在每個月把股票池根據(jù) IVol 的大小分成 10 檔(0 代表 IVol 最低檔、9 代表 IVol 較高檔)，則這 10 檔投資組合的月頻收益率均值如下圖所示，呈現(xiàn)出較好的單調(diào)性。
接下來，我們看看 IVol 因子能否獲得其他因子無法解釋的超額收益。由于它和波動率息息相關(guān)，因此在 Fama-French 五因子的基礎(chǔ)上加入波動率因子 Vol。計算 Vol 時直接使用個股日頻收益率最近一個月的標(biāo)準(zhǔn)差、將其從低到高排序，其他步驟和 IVol 類似。
將 IVol 因子收益率和 Fama-French 五因子 + Vol 因子收益率進(jìn)行時序回歸，得到如下結(jié)果(t-statistics 經(jīng) Newey and West 1987 調(diào)整)。結(jié)果顯示，IVol 因子在 Vol 因子上有很高的暴露(v = 0.62、其 t-statistic 高達(dá) 7.816)，這也導(dǎo)致時序回歸的 R² 高達(dá) 0.771(在一般學(xué)術(shù)論文中因子對異象的時序回歸中往往見不到這么高的 R²)。盡管如此，IVol 依然能獲得這六個因子無法解釋的顯著 α 收益率(每月平均 0.51%、t-statistic 3.545)。
雖然 IVol 能夠獲得 α，但是其和 Vol 的高相關(guān)性仍然讓人不爽。我們自然想看看它能能否解釋個股預(yù)期收益率的截面差異，即回答本文標(biāo)題中的問題 —— 異質(zhì)波動率能否提供增量定價信息。
為此，使用 Fama and MacBeth (1973) Regression 對包括 IVol 在內(nèi)的上述七個因子同時進(jìn)行分析。將個股在每個因子上的當(dāng)期暴露和個股下期的收益率進(jìn)行截面回歸，從而得到這些因子在時序上的收益率序列，以此考察每個因子。在計算因子暴露時，對每個因子在截面上取值的 1% 和 99% 分位數(shù)之外的樣本進(jìn)行窗化，之后再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。Fama-MacBeth Regression 的結(jié)果如下。
結(jié)果顯示，IVol 具有很強的解釋截面預(yù)期收益率的能力。它的月頻預(yù)期收益率為 -0.71%(t-statistic = -4.402)，說明高 IVol 的股票較低 IVol 的股票有更低的收益。然而，結(jié)果中 Vol 的預(yù)期收益率為 0.45%(t-statistic = 2.150)，說明高 Vol 的股票比低 Vol 的股票有更高的收益，這和我們熟悉的低波動異象相左。
如果把 IVol 和 Vol 的結(jié)果放在一起則更加令人困惑 —— 波動率高、但異質(zhì)波動率低的股票較其對立面能獲得更高的收益。這樣的結(jié)果與 IVol 和 Vol 之間的高相關(guān)性密不可分。在 Fama-MacBeth Regression 中，我們希望因子之間是近似獨立的，而 IVol 和 Vol 這兩個因子之間的高相關(guān)性會對分析結(jié)果造成干擾。
為了更好的考察 IVol(以及 Vol)能否解釋預(yù)期收益率截面差異，下一節(jié)將對 IVol 進(jìn)行正交化處理。
四、因子正交化
為了排除 Vol 對 IVol 的影響，使用前者對后者進(jìn)行正交化處理。正交化時可采用最小二乘法(OLS)或廣義最小二乘法(GLS)。
使用 OLS直接在每期截面上將股票在 IVol 上的暴露作為被解釋變量，將它們在 Vol 上的暴露作為解釋變量，回歸得到的殘差作為正交化后的 IVol 暴露，并按照正交化后 IVol 暴露從低到高排序構(gòu)建 IVol 因子。
正交化后，IVol 因子的表現(xiàn)如下圖所示。其多、空對沖組合的年化收益率較未進(jìn)行正交化提升至 14.01%、純多頭收益率提升至 11.04%。不過稍后就會看到，更高的 on paper 收益率的代價是更高的換手率。因此正交化在實踐中能否提升該因子的效果依然需要進(jìn)一步研究。
再來看看 Fama-French 五因子 + Vol 因子能否解釋正交化后的 IVol 因子。時序回歸顯示，正交化后的 IVol 因子在 Vol 因子上的暴露不再顯著，而這六個因子解釋 IVol 時的 R² 也下降至 0.288(屬于學(xué)術(shù)論文中常見的數(shù)值范圍)。與未進(jìn)行正交化相比，正交后的 IVol 的 α 收益率更加顯著。
在排除了 Vol 對 IVol 的影響之后，F(xiàn)ama-MacBeth Regression 給出了“期待中”的結(jié)果：Vol 對股票預(yù)期收益率的解釋能力驟然消失，而 IVol 因子的解釋能力則變得更加顯著。這個結(jié)果說明，相比起波動率，我們更應(yīng)該關(guān)注異質(zhì)波動率，而低異質(zhì)波動率異象存在于實證中的中證 500 指數(shù)。
第二種正交化的方法參考 Menchero (2010)，在正交化時考慮個股市值對殘差的影響，采用 GLS：
上式中 W 是對角陣，對角線上的第 i 個元素為股票 i 的權(quán)重(正比于流通市值)。這種處理方法被廣泛應(yīng)用在 Barra 的模型中，感興趣的小伙伴可以進(jìn)一步參閱相關(guān)資料。
實證結(jié)果顯示，GLS 和 OLS 的差異很小。正交化后 IVol 因子多空組合的年化收益率為 13.76%、純多頭的年化收益率為 10.88%。下面兩張圖分別給出了 GLS 正交化方法下時序回歸和 Fama-MacBeth Regression 的結(jié)果。
在結(jié)束本小節(jié)之前，再來回應(yīng)一下之前提到的高換手率的問題。下圖顯示了非正交化 IVol 因子和兩種正交化 IVol 因子的多頭組合每個月相較于前一個月股票變化的數(shù)量(每個月多頭一共 150 支)。正交化操作明顯的提高了股票變化的數(shù)量，這在實際中會造成更高的換手率和交易成本，是必須考慮的問題。
五、按市值加權(quán)
在前述的實證結(jié)果中，所有風(fēng)格因子的多空投資組合均等權(quán)配置選出的股票。作為 robustness check，本小節(jié)給出按市值加權(quán)的結(jié)果。在所有的多空組合中 —— 包括計算異質(zhì)波動率時的日頻風(fēng)格因子收益率，以及分析 IVol 時的月頻因子投資組合 —— 均采用市值加權(quán)的方式構(gòu)建。用一句話總結(jié)來說：按市值加權(quán)和等權(quán)配置獲得了非常接近的結(jié)果：異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率呈負(fù)相關(guān)，且能顯著的解釋個股預(yù)期收益率的截面差異。
考慮到篇幅問題，本小節(jié)僅列出按 OLS 正交化方法的實證結(jié)果。下圖為 IVol 因子組合的累積凈值。IVol 因子多空投資組合的年化收益率為 13.21%(夏普率 1.76)、純多頭組合的年化收益率為 9.80%(夏普率 0.46)。
將股票池根據(jù) IVol 的大小分成 10 檔(0 檔為異質(zhì)波動率最低、9 檔為異質(zhì)波動率較高)，則這 10 檔投資組合的月頻收益率均值如下圖所示，依然呈現(xiàn)出較好的單調(diào)性。
時序回歸結(jié)果顯示，按市值加權(quán)的 IVol 因子(正交化)能獲得更高的 α 收益率。Fama-MacBeth Regression 顯示 IVol 因子的預(yù)期收益率非常顯著;與之成鮮明對比的是，Vol 因子不具備解釋截面預(yù)期收益率差異的能力。
六、結(jié)語
本文以中證 500 為例對異質(zhì)波動率進(jìn)行了實證研究。類似的方法可以推廣到全 A 股。雖然能夠觀察到低異質(zhì)波動率異象，但需要指出的是上述實證區(qū)間的長度并不令人滿意，所以即便顯著的結(jié)果也要打點折扣。
最后，Herskovic et al. (2016) 指出個股的異質(zhì)波動率之間也存在顯著的 co-movement，因此提出了一個 factor structure 來解釋異質(zhì)波動率。這個發(fā)現(xiàn)對于 empirical asset pricing 也有一定的啟示，且他們的結(jié)果也反映了異質(zhì)波動率和預(yù)期收益率之間的負(fù)相關(guān)性。感興趣的小伙伴不妨一讀。
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