今天刷到一個舊新聞，說的是去年廣州有個開小飯店的大叔火了。因為去他的店鋪吃飯，點一份鴨肉+青菜+鴨肉湯，僅僅只要12塊，還能免費續(xù)飯。相比附近的店，簡直超劃算。于是就有記者問他：“賣這么便宜肯定掙不了什么錢吧”結(jié)果大叔笑了笑，“掙得少，但我活的很開心啊，我也不是很多錢了，就是有十棟房子收租，每棟房子七層而已啦”。而且，這位大叔，還特地買了輛寶馬專門用來買菜?？赐赀@個新聞，只有這張圖能表達(dá)我此刻的心情。

　　

　　唉，一套房也沒有的小編只能默默搬磚了。說到搬磚，經(jīng)常有小伙伴在后臺留言：都說機器學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)很重要，那數(shù)學(xué)到底要學(xué)到什么程度才可以呢。那今天就給大家分享一下，機器學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)需要學(xué)到什么程度。對于絕大多數(shù)從事于機器學(xué)習(xí)的人來說，學(xué)數(shù)學(xué)的目的，主要是便于(深入)理解算法的思路。那么問題來了，我們到底要把數(shù)學(xué)學(xué)到什么程度?

　　這里舉兩個例子：

　　1、線性最小二乘法

　　大家可以隨意搜索一下，相關(guān)的文章很多。長篇大論的不少，剛?cè)腴T的朋友一看到那些公式可能就看不下去了。比如下面的解釋：

　　

　　毫無疑問，這樣的解釋是專業(yè)的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｊ聦嵣?，這是深度學(xué)習(xí)圣經(jīng)里的解釋。我并沒有詆毀大師的意思，只是覺得用一個具體的例子來說明，可能會讓讀者更加容易理解：小明是跑運輸?shù)?，?公里需要6塊，跑2公里需要5塊(那段時間剛好油價跌了)，跑3公里需要7塊，跑4公里需要10塊，請問跑5公里需要多少塊?如果我們有初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，應(yīng)該會自然而然地想到用線性方程組來做，對吧。

　　

　　這里假定x是公里數(shù)，y是運輸成本(β1和β2是要求的系數(shù))。我們把上面的一組數(shù)據(jù)代入得到這么幾個方程：

　　

　　這里假定x是公里數(shù)，y是運輸成本(β1和β2是要求的系數(shù))。我們把上面的一組數(shù)據(jù)代入得到這么幾個方程：如果存在這樣的β1和β2，讓所有的數(shù)據(jù)(x，y)=(1,6)，(2,5)，(3,7)，(4，10)都能滿足的話，那么解答就很簡單了，β1+5β2就是5公里的成本，對吧。但遺憾的是，這樣的β1和β2是不存在的，上面的方程組很容易，你可以把前面兩個解出來得到一組β1和β2，后面兩個也解出來同樣得到一組β1和β2。這兩組β1和β2是不一樣的。形象地說，就是你找不到一條直線，穿過所有的點，因為他們不在一條直線上。如下圖：

　　

　　可是現(xiàn)實生活中，我們就希望能找到一條直線，雖然不能滿足所有條件，但能近似地表示這個趨勢，或者說，能近似地知道5公里的運輸成本，這也是有意義的?，F(xiàn)實生活當(dāng)中，有很多這樣的例子，想起以前在某公司上班的時候，CEO說我們研發(fā)部做事有個問題：一個研發(fā)任務(wù)，要求三個月做完，因為周期太短，完成不了，就干脆不做，這顯然是不對的，要盡全力，哪怕三個月完成了80%，或者最終4個月完成，總比不作為的好。

　　其實最小二乘法也是這樣，要盡全力讓這條直線最接近這些點，那么問題來了，怎么才叫做最接近呢?直覺告訴我們，這條直線在所有數(shù)據(jù)點中間穿過，讓這些點到這條直線的誤差之和越小越好。這里我們用方差來算更客觀。也就是說，把每個點到直線的誤差平方加起來：

　　

　　(如果上面的四個方程都能滿足，那么S的值顯然為0，這是最完美的，但如果做不到完美，我們就讓這個S越小越好）。接下來的問題就是，如何讓這個S變得最小。這里有一個概念，就是求偏導(dǎo)數(shù)。這里我想提一下，在培訓(xùn)的過程中，我發(fā)現(xiàn)機器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程當(dāng)中，微積分是大家印象最深刻的，而且也最容易理解：比如導(dǎo)數(shù)就是求變化率，而偏導(dǎo)數(shù)則是當(dāng)變量超過一個的時候，對其中一個變量求變化率。

　　要讓S取得最小值(或最大值，但顯然這個函數(shù)沒有最大值，自己琢磨一下)，那么S對于β1和β2分別求偏導(dǎo)結(jié)果為0，用一個直觀的圖來表示：

　　

　　我們看到這條曲線，前半部分是呈下降的趨勢，也就是變化率(導(dǎo)數(shù))為負(fù)的，后半部分呈上升的趨勢，也就是變化率(導(dǎo)數(shù))為正，那么分界點的導(dǎo)數(shù)為0，也就是取得最小值的地方。這是一個變量的情況，對于多個變量的情況，要讓S取得最小值，那較好是對β1和β2分別求導(dǎo)(對β1求導(dǎo)的時候，把β2當(dāng)常量所以叫求偏導(dǎo))，值為0：

　　

　　

　　看到這個我們就熟悉了，兩個變量，剛好有兩個方程式，初中學(xué)過，那么很容易得出：

　　

　　

　　其實也就意味著：

　　

　　這個函數(shù)也就是我們要的直線，這條直線雖然不能把那些點串起來，但它能最大程度上接近這些點。也就是說5公里的時候，成本為3.5+1.4x5=10.5塊，雖然不完美，但是很接近實際情況。

　　2、拉格朗日乘子法

　　聽到拉格朗日乘子法這個名字的時候，很多人的第一反應(yīng)是：這玩意兒是不是很高深啊，先入為主地有了畏難的情緒。但我把它講完以后，大部分人表示并不難，而且現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常潛移默化會用到拉格朗日乘子法。甚至可以說，不用拉格朗日乘子法的人生都是不完整的人生。我們來看一下定義：

　　

　　雖然這個定義應(yīng)該說是很簡潔明了的，但對于大部分人來說，依然還是有點懵。不太清楚為什么要這么做。拉格朗日到底要搞什么飛機?我們還是舉個例子：某工廠在生產(chǎn)過程中用到兩類原材料，其中一種單價為2萬/公斤，另一種為3萬/公斤，而工廠每個月預(yù)算剛好是6萬。就像下面的公式：

　　

　　經(jīng)過分析，工廠的產(chǎn)量f跟兩種原材料(x1，x2)具有如下關(guān)系(我們暫且不管它是如何來的，而且假定產(chǎn)品可以按任意比例生產(chǎn))：

　　

　　請問該工廠每個月最少能生產(chǎn)多少?其實現(xiàn)實生活中我們會經(jīng)常遇到類似的問題：在某個或某幾個限制條件存在的情況下，求另一個函數(shù)的極值(極大或極小值)。就好比你要在北京買房，肯定不是想買什么房子就買什么房子，想買多大就買多大，而是跟你手頭的金額，是否有北京戶口，納稅有沒有滿五年，家庭開支/負(fù)擔(dān)重不重，工作單位穩(wěn)不穩(wěn)定都有關(guān)系。回到工廠的例子，其實就是求函數(shù)f的極值。上面我們提到，極值點可以通過求偏導(dǎo)(變化率為0的地方為極值點)來實現(xiàn)，函數(shù)f(x1，x2)對x1，x2分別求偏導(dǎo)。

　　那么得出的結(jié)論是：x1，x2都為0的時候最小，單獨看這個函數(shù)，這個結(jié)論對的，很顯然這個函數(shù)的最小值是0(任何數(shù)的平方都是大于或等于0)，而且只有x1和x2同時為0的時候，取得最小值。但問題是它不滿足上面的限制條件。

　　怎么辦呢?拉格朗日想到了一個很妙的辦法，既然h(x1，x2)為0，那函數(shù)f(x1，x2)是否可以加上這個h(x1，x2)再乘以一個系數(shù)呢?任何數(shù)乘以0當(dāng)然是0，f(x1，x2)加上0當(dāng)然保持不變。所以其實就可以等同于求下面這個函數(shù)的極值：

　　

　　我們對x1，x2以及λ分別求偏導(dǎo)(極值點就是偏導(dǎo)數(shù)均為0的點)：

　　

　　解上面的方程組得到x1=1.071，x2=1.286 然后代入f(x1，x2)即可。這里為什么要多加一個乘子λ呢，試想一下，如果λ是個固定的數(shù)(比如-1)，我們也能通過上面的方程式1,2求解得到x1，x2，但是我們就得不到方程式3，其實也就是沒有約束條件了。

　　所以看到?jīng)]有，拉格朗日很聰明，他希望我們在求偏導(dǎo)(極值點)以后，還能保留原有的約束條件。我們上面提到，單獨對函數(shù)求極值不能保證滿足約束條件，拉格朗日這么一搞，就能把約束條件帶進(jìn)來，跟求其他變量的偏導(dǎo)結(jié)果放在一起，既能滿足約束條件，又能保證是約束條件下的極值。借用金星的一句話：完美!

　　當(dāng)然這是一個約束條件的情況，如果有多個約束條件呢?那就要用多個不同的λ(想想為什么)，正如最上面的那個定義那樣，把這些加起來(這些0加起來也是0)。機器學(xué)習(xí)里的數(shù)學(xué)，我感覺只需要掌握里面這個核心思想即可，就像拉格朗日乘子法，求條件極值---》轉(zhuǎn)化為求(函數(shù)+條件)的極值，每一步都很妙。

　　其實我想說的是，體會這種妙處以后，再看SVM的算法，會感覺舒服很多，數(shù)學(xué)主要是為了讓人更好地理解算法，并不是為了數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)。人生苦短，還成天被晦澀的書籍所困擾，“感覺身體好像被掏空”，這樣真的好么?

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