我們求證了平價(jià)發(fā)行的債券，只有改變到期日的par rate，才會對債券價(jià)格產(chǎn)生影響。改變其他年份的par rate,對債券價(jià)格不產(chǎn)生影響。

　　今天我們就來完成證明：深度折價(jià)債券，改變短期的利率對債券價(jià)格的影響是同向的(也就是說短期的key rate Duration為負(fù))。

　　1、前提：

　　首先，我們要理解深度折價(jià)債券。(P代表par value)

　　債券價(jià)格計(jì)算公式如下：

　　所以在折現(xiàn)率相同的情況下，一個深度折價(jià)債券的利息率必然是很低的，也就是說深度折價(jià)債券除了最后一年的現(xiàn)金流，其他年份的現(xiàn)金流在分析債券價(jià)格的構(gòu)成中占比非常低。

　　2、第一步：

　　在之后的分析中，為了方便起見，我們以零息債券為例。

　　在上一期我們有提到過：

　　在用bootstrapping的方法將par rate curve轉(zhuǎn)化為spot rate curve時，是一個從前往后的過程，先算出S1，然后依次算出S2、S3 …… Sn.

　　為了方便理解，我們把上述公式都用Discount factor表示：

　　3、第二步：

　　我們只改變短期利率，也就是使P1減少，變?yōu)镻1*。

　　因?yàn)镻3不變，D1上升，D2減小，而D2變化的幅度遠(yuǎn)小于D1，所以D3減小，并且D3變化的幅度遠(yuǎn)小于D2。

　　以此類推……

　　因?yàn)镻n不變，D1上升，D2減小……Dn-1減小，并且D2變化的幅度遠(yuǎn)小于D1，D3變化的幅度遠(yuǎn)小于D2……Dn-1變化的幅度遠(yuǎn)小于Dn-1，所以Dn減小。

　　n年的平價(jià)發(fā)行的零息債券(本金為1)的價(jià)格計(jì)算公式為：

　　當(dāng)P1減小時，Dn減小，債券價(jià)格減小，這個時候利率和債券價(jià)格呈同向變化關(guān)系。

　　也就是說，我們所說的負(fù)久期。

　　當(dāng)然，對于只變化第二年、第三年……第n-1年的par rate我們也都可以從這種角度來分析。

　　我們以只變化n-1的par rate年為例來簡要闡述一下：

　　因?yàn)榈?年至n-2的par rate都不變，第1年至第n-2年的discount factor也不變。

　　所以若Pn-1下降，Dn-1上升，Pn不變，所以Dn下降。

　　Pn-1的下降導(dǎo)致債券價(jià)格的下降，久期為負(fù)。

　　當(dāng)然，如果其實(shí)這種負(fù)久期的情況不只是出現(xiàn)在深度折價(jià)債券當(dāng)中。普通的債券當(dāng)中也是有可能出現(xiàn)的，如果想要探索其中的奧秘，不妨拿出excel，自己模擬一張期限非常長的債券來看看他的duration?；蛟S有意外之喜哦。

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