今天咱們來思考一個(gè)數(shù)學(xué)問題。這個(gè)數(shù)學(xué)問題有助于我們理解一個(gè)看似有點(diǎn)反常識(shí)的道理，那就是為什么絕大多數(shù)投資者都會(huì)輸給市場(chǎng)。
如果你去考察華爾街那些金融機(jī)構(gòu)，什么各種基金，也包括所有的個(gè)人投資者，你看他們一年下來的投資成績(jī)，其中絕大多數(shù)，都不如標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)的增長(zhǎng)。投資界公認(rèn)，打敗標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)非常非常難。哪個(gè)公司打敗了標(biāo)準(zhǔn)普爾，那絕對(duì)是值得吹噓的成就。
可是你想想，這好像不對(duì)啊?標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)是從股市中選出500只股票的平均增長(zhǎng)，它代表的只是一個(gè)平均水平。比平均成績(jī)好，怎么會(huì)這么難呢?
今天我們要說的就是這個(gè)道理。這個(gè)道理正好和塔勒布的《利益攸關(guān)》里面一個(gè)概念叫“遍歷性”，的本質(zhì)上是一樣的。
我要用的例子是來自一本叫《一個(gè)數(shù)學(xué)家玩轉(zhuǎn)股票市場(chǎng)》(A Mathematician Plays The Stock Market)的書，作者約翰·保羅士(John Paulos)是一位數(shù)學(xué)家。你要想理解股票市場(chǎng)是怎么回事，建議好好讀讀這本書 —— 數(shù)學(xué)家的見識(shí)絕對(duì)比那些學(xué)金融的深刻。但是你要想在股市上賺錢，這本書可能沒什么幫助 —— 事實(shí)上保羅士是因?yàn)樵诠墒猩腺r了很多錢，痛定思痛，才寫了這本書。我覺得這本書很適合勸人不要炒股。
保羅士編了一道數(shù)學(xué)題。
我們知道，新股剛上市的時(shí)候，股價(jià)波動(dòng)往往很大。咱們干脆假設(shè)，任何一只股票 IPO 第一周，股價(jià)都是或者上漲80%，或者下跌60%，可能性各占一半。
漲幅比跌幅大，機(jī)會(huì)啊。
那我們能不能搞一個(gè)投資策略，每個(gè)星期一都買一只 IPO 的股票 ，然后在星期五把它賣了。我的資金有一半的可能性會(huì)上漲80%，有一半的可能性會(huì)下跌60%，平均下來，數(shù)學(xué)期望是賺10%，對(duì)吧?那如果我每周都賺10%的話，一年下來利滾利，那就是1.1的52次方 —— 如果我投入了1萬元，到年底我會(huì)有142萬元。
這142萬元，就是市場(chǎng)的平均回報(bào)。但是這可不是你最有可能拿到的回報(bào)。
你最有可能拿到的回報(bào)是什么呢?假設(shè)你總共有1萬元，你每周一把錢全投進(jìn)去買 IPO 的股票，周五再把股票全部賣掉，下周一再把錢全投進(jìn)去。如果你這么做，最有可能的結(jié)果是52個(gè)星期下來，你還剩下1.95元。
咱們算算。你最可能面對(duì)的結(jié)果是在50%的時(shí)間里，你的資金增長(zhǎng)80%，在另外50%的時(shí)間里，你的資金下跌60%。你的資金要乘以1.8倍26次，乘以0.4倍26次，結(jié)果就是你平均每?jī)芍芴?8%，一年后一萬元就變成了1.95元。
那么問題來了，前面那個(gè)142萬元的平均收入又是從哪來的呢?這其實(shí)是假設(shè)有很多很多個(gè)投資者都在市場(chǎng)里使用這個(gè)策略買賣股票。其中有的人比較幸運(yùn)，遇到很多個(gè)周期都是增長(zhǎng)80%，很少的周期是下跌60%。而那些不幸的人則是很多周期下跌60%，在很少的周期上漲80%。
其中最幸運(yùn)的那個(gè)人，是連續(xù)52周里全都是上漲80%，他的收入就是1萬乘以1.8的52次方，等于1.88×10^13萬。而最不幸運(yùn)的人，也不過就是把錢賠光了，并不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)負(fù)數(shù)。把幸運(yùn)者和不幸者都加在一起，取個(gè)平均數(shù)，結(jié)果就是每個(gè)人賺了142萬元。
說的再明白一點(diǎn)，我們干脆考慮一個(gè)只有四個(gè)投資者、總共玩了兩周的情況。從概率平等角度，其中會(huì)有一個(gè)人在兩周內(nèi)都是增長(zhǎng)80%，那么他的1萬元就變成了32400元。有一個(gè)人在第一周漲，第二周跌，還會(huì)有一個(gè)人是第一周跌，第二周漲，這兩個(gè)人代表了多數(shù)，代表了*最可能*的結(jié)果，就是1.8×0.4，1萬元變成7200元。然后還有一個(gè)不幸的人，兩周內(nèi)都下跌，也就是0.4×0.4，他的1萬元變成了1600元。
這四個(gè)人的收入分別是32400元、7200元、7200元和1600元。四人的平均值是12100元，正好是1萬元1.1×1.1。而四人的*最可能結(jié)果*，則是中間的這兩個(gè)7200元。最可能值，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于平均值。
如果你的初等數(shù)學(xué)還很熟，你會(huì)立即注意到，所謂最可能結(jié)果，其實(shí)就是用1.8和0.4這兩個(gè)數(shù)的“幾何平均值”算出來的;而所謂“市場(chǎng)平均結(jié)果”，則是用1.8和0.4的算術(shù)平均值算出來的。而數(shù)學(xué)告訴我們，幾何平均值總是小于算術(shù)平均值。
這就是為什么個(gè)人的最大可能性是打不過市場(chǎng)。我們?yōu)榱送怀稣f明問題，用了一組極端的數(shù)字，但“幾何平均值總是小于算術(shù)平均值”這個(gè)性質(zhì)對(duì)所有數(shù)字都是適用的。換一組數(shù)字你不一定賠錢，但你還是無法打敗市場(chǎng)。
這也是塔勒布說的“這個(gè)系統(tǒng)沒有遍歷性”。一群人做一件事取得的平均值，和一個(gè)人經(jīng)歷這件事很多很多次，是不一樣的。
我再換個(gè)說法你就更容易理解了。市場(chǎng)上特別幸運(yùn)的人，會(huì)獲得巨額的收入，他們強(qiáng)烈地拉高平均值。而特別不幸運(yùn)的人和中等幸運(yùn)的人的表現(xiàn)其實(shí)差不多 —— 最多也就是賬戶清零而已，并不會(huì)強(qiáng)烈地拉低平均值。那么結(jié)果就是平均值受到了少數(shù)幸運(yùn)者的強(qiáng)烈影響。
股票也有幸運(yùn)的和不幸運(yùn)的。標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)有500只股票，是廣撒網(wǎng)，其中一定會(huì)網(wǎng)羅到少數(shù)幸運(yùn)的股票，是這些幸運(yùn)股票使得標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)偏高。普通投資者一會(huì)兒買幸運(yùn)股票一會(huì)兒買不幸運(yùn)股票，就算各占一半，因?yàn)槟闶菐缀纹骄?，你就不如?biāo)準(zhǔn)普爾手里永遠(yuǎn)握有幸運(yùn)股票。
現(xiàn)在總結(jié)一下，買股票一共有三種方法，以我們今天這個(gè)設(shè)定為例 ——
總共只有1萬元資金，每次都全部投入買一只股票。運(yùn)氣特別好的話可以掙很多很多錢，但最可能結(jié)局是幾何平均值，變成1.95元。
總共有52萬元資金，每周投入1萬元買股票，周末賣出。結(jié)果是一年下來有10%的利潤(rùn)，變成57.2萬元。
如果資金和時(shí)間充裕到可以不顧交易成本，去買市場(chǎng)所有的股票，那么就按照市場(chǎng)算數(shù)平均值滾雪球，一年下來變成140倍。
當(dāng)然因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)定了80%和60%這兩個(gè)大數(shù)字，這個(gè)結(jié)果顯得比較夸張，但意思是這個(gè)意思。第一種是個(gè)人常見的投資方法。第二種是小打小鬧。第三種，是大盤指數(shù)。
生活中其實(shí)也是這樣。北京市的平均收入一公布，就有很多人表示自己給北京拖后腿了 —— 絕大多數(shù)人的收入都是在平均水平之下。這完全符合數(shù)學(xué)，根本原因就是收入特別高的人貢獻(xiàn)太大了。
如果北京市政府允許市民放棄工作自主權(quán)，選擇領(lǐng)取全市平均工資，我想大多數(shù)人都會(huì)樂意的。而在股市上，就真的有這么好的事兒，那就是別自己胡亂選股了，老老實(shí)實(shí)買指數(shù)基金。這恰恰是巴菲特最愛給人提的炒股建議。
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