作者：石川，北京量信投資管理有限公司創(chuàng)始合伙人，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士。知乎專欄：
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1、引言
“The most important key to successful investing can be summed up in just two words —— asset allocation.
”
不夸張的說，量化投資資產(chǎn)配置是投資中最關(guān)鍵的一環(huán)。無論我們有多少個收益源、多少因子，最終都要力爭在最小化投資組合風(fēng)險的前提下實(shí)現(xiàn)更高的收益。這正是資產(chǎn)配置(asset allocation)。
談到量化投資資產(chǎn)配置，最著名的要數(shù) Mean-Variance Optimization(MVO)模型，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：
其中 ω 是資產(chǎn)權(quán)重向量、μ 和 Ω 分別為預(yù)期收益率向量以及協(xié)方差矩陣、δ 是風(fēng)險厭惡系數(shù)。當(dāng)不考慮任何約束是，上述 MVO 問題的較優(yōu)解是：
如果考慮所有資產(chǎn)權(quán)重加起來占資金量 100%，即 Σω = 1，則可以將上述較優(yōu)解中的等號換成“正比于”符號，它和最終的權(quán)重只差一個 scaling factor 而已：
對于權(quán)重為 ω 的投資組合，其夏普率為：
數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以證明，最大化投資組合夏普率的 ω 也正比于 (Ω^{-1})μ，因此 MVO 的較優(yōu)解 ω_{mvo} 可以最大化投資組合的夏普率。這就是它吸引人的原因。
當(dāng)然，由于對輸入(μ 和 Ω)非常敏感，且事前預(yù)測未來的 μ 和 Ω 異常困難(Ω 中包括資產(chǎn)自己的波動率 σ_i 以及資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù) ρ_ij)，MVO 在投資實(shí)務(wù)中也沒少被人詬病。為了避免猜 μ 和 Ω 的問題，人們又相繼提出了很多其他的資產(chǎn)配置方法，諸如：equal weight、minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity(又稱 equal risk contribution)。
在實(shí)際量化投資資產(chǎn)配置中，由于 μ_i、σ_i、ρ_ij 中的一個或多個難以預(yù)測，我們舍棄 MVO 并退而求其次選擇上述這些方法之一。無論采取哪種方法，我們都希望最大化投資組合的夏普率。事實(shí)上，當(dāng) μ_i、σ_i、ρ_ij 這些參數(shù)滿足特定條件時，所有上述方法均可以等價于 MVO。在資產(chǎn)配置時，我們可以對資產(chǎn)參數(shù) μ_i、σ_i、ρ_ij 所滿足的條件做適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，從而選擇最合適的配置方法。
本文的目的就是梳理上述幾種資產(chǎn)配置方法背后的數(shù)學(xué)模型，從而搞清楚它們分別在何種參數(shù)條件下等價于 MVO，并以此指導(dǎo)我們在量化投資投資實(shí)務(wù)中正確選擇它們。
最后想要說明的是，由于篇幅和我的知識有限，本文無法覆蓋所有主流的資產(chǎn)配置模型。但是本文的思路可以用來分析其他方法。
2、數(shù)學(xué)描述
本文考慮的量化投資資產(chǎn)配置方法包括：Minimum Variance、Maximum Diversification、Risk Parity / Equal Risk Contribution 和 Equal Weight。以下逐一說明。
Minimum Variance 方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
可以證明，它的較優(yōu)解滿足如下關(guān)系(Clarke, de Silva, and Thorley 2013)：
將其和 ω_{mvo} 比較不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有資產(chǎn)的收益率 μ 相等時，minimum variance 方法等價于 MVO。
接下來是 Maximum Diversification。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
其中 σ = [σ_1, σ_2, …, σ_N]' 表示 N 個資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(波動率)的向量。該方法最大化資產(chǎn)線性加權(quán)波動率與投資組合波動率的比值，故稱為最大分散化資產(chǎn)配置組合。它的較優(yōu)解滿足如下關(guān)系(Clarke, de Silva, and Thorley 2013)：
同樣的，將其和 ω_{mvo} 比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有資產(chǎn)的收益率 μ_i 和它們對應(yīng)的波動率 σ_i 比值均相同(即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j)時，maximum diversification 方法等價于 MVO。
再來看看 Risk Parity / Equal Risk Contribution。它要求每個資產(chǎn)對投資組合的風(fēng)險等貢獻(xiàn)，即：
其中 σ_p 代表投資組合的波動率。該條件可以轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)優(yōu)化問題： >>>點(diǎn)擊咨詢AQF考試相關(guān)問題
其中 (Ωω)_i 表示向量 Ωω 的第 i 行，即一個標(biāo)量。Maillard, Roncalli, and Teïletche (2010) 一文對 Equal Risk Contribution(ERC)配置方法進(jìn)行了非常詳盡的數(shù)學(xué)論述，得出了很多有益的結(jié)論。其中，最重要的是，當(dāng)所有 N 個資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)相等(即所有 ρ_ij 都等于某常數(shù) ρ)時，ERC 的較優(yōu)解為：
除了 ERC 之外，另一個與其十分接近的配置方法是 equal risk budget(ERB)。根據(jù)定義，ERB 的較優(yōu)解滿足 ω_i = σ_i^{-1}/(Σ_jσ_j^{-1})。換句話說，當(dāng)所有資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)均相等時，ERC 和 ERB 一樣。Carvalho, Lu, and Moulin (2012) 指出，當(dāng)資產(chǎn)夏普率相同，且相關(guān)系數(shù)均相同時，ERB 等價于 MVO。由此可以推斷出 ERC 等價于 MVO 的條件：所有資產(chǎn)的收益率 μ_i 和它們對應(yīng)的波動率 σ_i 比值均相同(即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j，意味著夏普率相同)、且所有資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)相同。
最后來看看 Equal Weight。這種等權(quán)方法沒什么可優(yōu)化的，其權(quán)重為：ω_{ew} = [1/N, …, 1/N]'，即每個資產(chǎn)占 1/N 的比例。當(dāng)所有資產(chǎn)的波動率相同時，ω_{ew} 可以看成 ERB 的一種簡單形式。由此可以推導(dǎo)出，equal weight 如果想等價于 MVO 則要求資產(chǎn)的 μ_i、σ_i、ρ_ij 滿足以下三方面非?？量痰臈l件：
1. 所有資產(chǎn)的收益率 μ_i 和波動率 σ_i 比值均相同(即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j);
2. 所有資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)相同;
3. 所有資產(chǎn)的 σ_i 相同。
下圖對上述配置方法進(jìn)行了總結(jié)。
下一節(jié)進(jìn)行一些簡單實(shí)驗說明當(dāng)參數(shù)滿足不同條件時，這些方法的差異。
3、實(shí)驗研究
從上節(jié)末的表格中不難看出，除了 minimum variance 之外，其他三種方法對參數(shù)的要求依次增強(qiáng)。因此，我們可以構(gòu)建一系列實(shí)驗，從最苛刻的條件開始，并逐一放松約束，以此觀察這三種方法的配置結(jié)果和 MVO 配置結(jié)果的差異。(稍后會單獨(dú)比較 minimum variance 和 MVO。)
由于 equal weight 配置方法需要三個條件才等價于 MVO，因此下面一共考慮四個實(shí)驗：
1. 第一個實(shí)驗中三個條件均滿足，即資產(chǎn)波動率相同、收益率與波動率之比相同、兩兩相關(guān)系數(shù)相同;
2. 第二個實(shí)驗中去掉資產(chǎn)波動率相同;
3. 第三個實(shí)驗中進(jìn)一步去掉兩兩相關(guān)系數(shù)相同;
4. 第四個實(shí)驗中去掉全部三個條件。
在這四個實(shí)驗中比較 equal weight、equal risk contribution、maximum diversification 以及 MVO 四種方法。每個實(shí)驗中假設(shè)有三個資產(chǎn)，作為實(shí)驗輸入給定它們的 μ_i、σ_i 以及 ρ_ij，并考察不同資產(chǎn)配置方法得到的較優(yōu)配置權(quán)重(所有方法均需要滿足約束 Σω = 1)以及夏普率。
實(shí)驗結(jié)果如下表所示。
隨著參數(shù)滿足的條件逐漸去除，equal weight、equal risk contribution 以及 maximum diversification 依次在與 MVO 的比較下敗下陣來。上述結(jié)果說明，對參數(shù)(無論是 μ、σ 還是 ρ)的準(zhǔn)確估計對資產(chǎn)配置結(jié)果是至關(guān)重要的;等權(quán)(或簡單多樣化)只是一種無法(準(zhǔn)確)估計參數(shù)時的無奈之舉。一旦有了任何關(guān)于 μ、σ、ρ 的(靠譜)信息都應(yīng)該充分利用，并合理對未知參數(shù)可能滿足的條件進(jìn)行假設(shè)，從而選擇最合適的資產(chǎn)配置方法。
最后下圖展示了 minimum variance 和 MVO 的比較。由于兩組實(shí)驗中，只改變了 μ 的取值而協(xié)方差矩陣不變，因此 minimum variance 配置給出了相同的結(jié)果;但是僅當(dāng)所有資產(chǎn) μ 相同時，minimum variance 才等價于 MVO。
4、結(jié)語
寫今天這篇文章源于我最近看了 Bender, Blackburn, and Sun (2019)。該文比較了不同的配置方法在構(gòu)建因子投資組合時的效果(包括一些本文沒有涉及的方法，見下表)。
對于 MVO，Bender, Blackburn, and Sun (2019) 的態(tài)度是，雖然輸入的準(zhǔn)確性至關(guān)重要，但我們也沒有必要急于否定較優(yōu)化在資產(chǎn)(因子)配置中的作用，因為其他方法都是在某種假設(shè)下對 MVO 的近似。
量化投資資產(chǎn)配置有很多不同的方法。本文希望傳達(dá)的態(tài)度是：無論選擇哪種方法，都應(yīng)該搞清楚其數(shù)學(xué)模型背后的對參數(shù)的假設(shè)是什么。搞清楚每個模型在什么情況下等價于 MVO 至關(guān)重要。使用一個模型，絕不是簡單的把不能猜的參數(shù)忽略掉、把能猜的參數(shù)扔進(jìn)去，而是要明白它到底配了什么。
參考文獻(xiàn)
Bender, J., T. Blackburn, and X. Sun (2019). Clash of the titans: factor portfolios versus alternative weighting schemes. The Journal of Portfolio Management, Quantitative Special Issue, Vol. 45(3), 38 – 49.
Carvalho, R. L., X. Lu, and P. Moulin (2012). Demystifying equity risk-based strategies: a simple alpha plus beta description. The Journal of Portfolio Management, Vol. 38(3), 56 – 70.
Clarke, R., H. de Silva, and S. Thorley (2013). Risk parity, maximum diversification, and minimum variance: an analytic perspective. The Journal of Portfolio Management, Vol. 39(3), 39 – 53.
Maillard, S., T. Roncalli, and J. Teïletche (2010). The properties of equally weighted risk contribution portfolios. The Journal of Portfolio Management, Vol. 36(4), 60 – 70.
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