不過，由于期權(quán)定價(jià)受多種因素影響，期權(quán)價(jià)格的決定非常復(fù)雜，考生對(duì)于期權(quán)定價(jià)的其他知識(shí)只需了解即可。接下來，F(xiàn)RM小編就給大家梳理一下Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的相關(guān)考點(diǎn)內(nèi)容。
期權(quán)定價(jià)模型由布萊克與斯科爾斯在20世紀(jì)70年代提出（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model）。該模型認(rèn)為，只有股價(jià)的當(dāng)前值與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)；變量過去的歷史與演變方式與未來的預(yù)測(cè)不相關(guān) 。模型表明，期權(quán)價(jià)格的決定非常復(fù)雜，合約期限、股票現(xiàn)價(jià)、無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率水平以及交割價(jià)格等都會(huì)影響期權(quán)價(jià)格。
期權(quán)定價(jià)模型基于對(duì)沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標(biāo)的股票的組合來保證確定報(bào)酬。在均衡時(shí)，此確定報(bào)酬必須得到無風(fēng)險(xiǎn)利率。期權(quán)的這一定價(jià)思想與無套利定價(jià)的思想是一致的。所謂無套利定價(jià)就是說任何零投入的投資只能得到零回報(bào)，任何非零投入的投資，只能得到與該項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的平均回報(bào)，而不能獲得超額回報(bào)（超過與風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)?shù)膱?bào)酬的利潤）。從Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)中，不難看出期權(quán)定價(jià)本質(zhì)上就是無套利定價(jià)。
01B-S-M模型假設(shè)
1、股票價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)并服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；
2、在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和股票資產(chǎn)期望收益變量和價(jià)格波動(dòng)率是恒定的；
3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；
4、股票資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)不支付紅利及其它所得（該假設(shè)可以被放棄）；
5、該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施；
6、金融市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；
7、金融資產(chǎn)的交易可以是連續(xù)進(jìn)行的；
8、可以運(yùn)用全部的金融資產(chǎn)所得進(jìn)行賣空操作。
B-S-M定價(jià)公式
C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）
其中：
d1=[ln（S/X）+（r+σ^2/2）T]/（σ√T）
d2=d1-σ·√T
C—期權(quán)初始合理價(jià)格
X—期權(quán)執(zhí)行價(jià)格
S—所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)
T—期權(quán)有效期
r—連續(xù)復(fù)利計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率
σ—股票連續(xù)復(fù)利（對(duì)數(shù)）回報(bào)率的年度波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）
N（d1），N（d2）—正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，在此應(yīng)當(dāng)說明兩點(diǎn)：
第一，該模型中無風(fēng)險(xiǎn)利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個(gè)簡單的或不連續(xù)的無風(fēng)險(xiǎn)利率（設(shè)為r0）一般是一年計(jì)息一次，而r要求為連續(xù)復(fù)利利率。r0必須轉(zhuǎn)化為r方能代入上式計(jì)算。兩者換算關(guān)系為：r=LN（1+r0）或r0=exp（r）-1例如r0=0.06，則r=LN（1+0.06）=0.0583，即100以583%的連續(xù)復(fù)利投資第二年將獲106，該結(jié)果與直接用r0=0.06計(jì)算的答案一致。
第二，期權(quán)有效期T的相對(duì)數(shù)表示，即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為100天，則T=100/365=0.274。
02B-S-M模型的推導(dǎo)
B-S-M模型的推導(dǎo)
B-S-M模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的，對(duì)于一項(xiàng)看漲期權(quán)，其到期的期值是：FRM還有不清楚的在線咨詢
E[G]=E[max（ST-L，O）]
其中，
E[G]—看漲期權(quán)到期期望值
ST—到期所交易金融資產(chǎn)的市場價(jià)值
L—期權(quán)交割（實(shí)施）價(jià)
到期有兩種可能情況：
1、如果ST>L，則期權(quán)實(shí)施以進(jìn)帳（In-the-money）生效，且mAx（ST-L，O）=ST-L
2、如果ST
max（ST-L，O）=0
從而：
E[CT]=P×（E[ST|ST>L）-L）+（1-P）×O=P×（E[ST|ST>L]-L）
其中：P—（ST>L）的概率E[ST|ST>L]—既定（ST>L）下ST的期望值將E[G]按有效期無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利rT貼現(xiàn)，得期權(quán)初始合理價(jià)格：
C=P×E-rT×（E[ST|ST>L]-L）（*）這樣期權(quán)定價(jià)轉(zhuǎn)化為確定P和E[ST|ST>L]。
首先，對(duì)收益進(jìn)行定義。與利率一致，收益為金融資產(chǎn)期權(quán)交割日市場價(jià)格（ST）與現(xiàn)價(jià)（S）比值的對(duì)數(shù)值，即收益=1NSTS。由假設(shè)1收益服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即1NSTS～N（μT，σT2），所以E[1N（STS]=μT，STS～EN（μT，σT2）可以證明，相對(duì)價(jià)格期望值大于EμT，為：E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T（γ-σ22），且有σT=σT
其次，求（ST>L）的概率P，也即求收益大于（LS）的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì)：Pr06[ζ>χ]=1-N（χ-μσ）其中：ζ—正態(tài)分布隨機(jī)變量χ—關(guān)鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標(biāo)準(zhǔn)差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2）TTNC4由對(duì)稱性：1-N（D）=N（-D）P=N1NSL+（γ-σ22）TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因?yàn)镋[ST|ST]>L]處于正態(tài)分布的L到∞范圍，所以，E[ST|ST]>=S·EγT·N（D1）N（D2）
其中：D1=LNSL+（γ+σ22）TσTD2=LNSL+（γ-σ22）TσT=D1-σT
最后，將P、E[ST|ST]>L]代入（*）式整理得B-S定價(jià)模型：C=S·N（D1）-L·E-γT·N（D2）
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